微分方程參數(shù)反演問題的同倫—多尺度方法.pdf

1、微分方程反演問題由于其非線性性和不適定性給求解帶來很大的困難，而同倫反演方法是求解非線性算子方程的一種大范圍收斂方法。它通過構(gòu)造一組同倫映射，可以克服牛頓迭代法收斂解嚴重依賴于初始近似解選擇的不足。該方法已成功應(yīng)用于許多領(lǐng)域，本文將在同倫方法的基礎(chǔ)上展開進一步研究。由于同倫方法中同時含有同倫參數(shù)和正則參數(shù)，正則參數(shù)根據(jù)偏差原則選取，而同倫參數(shù)通常采用等距劃分的形式進行選取。若分劃過細，則將在一定程度上增加計算量，尤其對于大型矩陣而言這樣

2、的時間浪費就顯得更為嚴重。而若步長平均分劃過大，又會造成誤差增大。因此本文對同倫參數(shù)的選取進行了自適應(yīng)方法的研究，并在一類橢圓參數(shù)識別問題上進行了數(shù)值模擬。
　　其次，小波分析是近年來國際上公認的前沿研究領(lǐng)域，它既包含有豐富的數(shù)學理論，又是工程應(yīng)用中強有力的方法和工具，給許多相關(guān)領(lǐng)域帶來了嶄新的思想。
　　因此本文將同倫方法和小波多尺度理論引入反演過程中，將二者結(jié)合起來形成同倫-多尺度方法。在同倫方法的每一步迭代中，利用小波

3、基函數(shù)將反演參數(shù)及方程在小波空間中展開，從而將物理空間中的參數(shù)反演問題轉(zhuǎn)化為小波空間中的系數(shù)求解問題。由此，我們充分利用了小波空間基函數(shù)的正交性及小波快速重構(gòu)的特點。其求解過程表明該方法不僅減少了計算量和掉入局部極小值的機會，而且克服了反問題本身的非線性性和不適定性，在計算效率的提高上顯出明顯的優(yōu)勢，具有一定的理論意義和較為廣泛的實用價值。
　　本方法在橢圓型方程參數(shù)反演問題上進行了應(yīng)用，進行了大量的數(shù)值模擬，結(jié)果表明了本文所給的