分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的無窮解研究.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微分方程是非整數(shù)階常微分方程的泛化。這種泛化不僅僅是數(shù)學(xué)上的變化而且在科學(xué)與工程的很多領(lǐng)域，例如粘彈性學(xué)、電路學(xué)和單神經(jīng)元模擬等有很多應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微分方程在一定程度上是為了刻畫一些不能被整數(shù)階微分方程定義的現(xiàn)象。
　　在物理學(xué)領(lǐng)域，例如黏彈性學(xué)，擴(kuò)散學(xué)，控制理論，弛豫理論和工業(yè)模擬試驗(yàn)中，分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程均有著不同程度的應(yīng)用。近年來通過非線性分析的手段，例如不動點(diǎn)理論（例如Leray-Schauder非線性變換）

2、，拓?fù)涠壤碚摚ㄖ睾隙壤碚摚?，比較學(xué)方法（例如上下解方法、單調(diào)迭代法），非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的解的存在性和多解性問題有了突破性進(jìn)展。然而，上述方法對于討論分?jǐn)?shù)階微分方程邊界值問題有著諸多缺陷，同時，與其等價的積分方程并不易獲取。因此，我們需要其它更加有效的方法來研究此類問題。
　　本文將對光滑的分?jǐn)?shù)階微分方程和非光滑的分?jǐn)?shù)階微分方程兩類分?jǐn)?shù)階微分方程的無窮解進(jìn)行研究。我們將利用變分方法和臨界點(diǎn)理論分別對這兩類方程給出在零點(diǎn)附近滿足振

3、蕩條件且能量趨近于零的解，以及無窮多個在無窮遠(yuǎn)處滿足振蕩條件且能量趨近于無窮的解。具體工作如下：
　　第一章介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)背景以及研究現(xiàn)狀。
　　第二章介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)理論，介紹了變分方法、臨界點(diǎn)理論、廣義導(dǎo)數(shù)及微分包含理論。
　　第三章我們提出了光滑的分?jǐn)?shù)階微分方程分別在零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)解的存在情況，分別給出定理并采用臨界點(diǎn)理論加以證明。
　　第四章對非光滑的分?jǐn)?shù)階微分方程也分別在零點(diǎn)和無窮