對偶一致突變?nèi)丝谶^程與對偶幾何突變?nèi)丝谶^程.pdf

1、概率方法和分析方法是研究Markov過程理論的兩種常用方法。概率方法形象、直觀、概率意義清晰，被許多生物學(xué)家、物理學(xué)家、化學(xué)家等喜愛；而分析方法則有表達(dá)明快、簡潔的特點，所以分析方法所表達(dá)的結(jié)果更適合于將Markov過程的理論與其它數(shù)學(xué)學(xué)科的成就聯(lián)系起來。在分析的方法中，對偶是一個很重要的技巧，尤其在連續(xù)時間Markov過程和相互作用的粒子系統(tǒng)中，更具有舉足輕重的作用，因為對所研究的過程，通過對偶關(guān)系，可以使原過程的問題轉(zhuǎn)化為對偶過程的

2、問題，如果對偶過程比原過程簡單，那么轉(zhuǎn)換了的問題可能比原問題便于處理。
　　 本文著力于使用分析的方法，以對偶作為橋梁，研究兩類重要的連續(xù)時間Markov過程——對偶一致突變?nèi)丝谶^程，以及對偶幾何突變?nèi)丝谶^程。在第二章中，我們從一致突變?nèi)丝谶^程的q-矩陣入手，首先給出
　　 命題2.1.1對偶一致突變?nèi)丝谶^程的q-矩陣Q(2)=(q(2)ij)為q(2)ij={a+(i-1)b-[a+(i-1)b+id]0j=i-1，i

3、≥1j=i，i≥1其它情況
　　 命題2.2.1對偶一致突變?nèi)丝谶^程的最小轉(zhuǎn)移函數(shù)f(2)ij(t)滿足limi→∞f(2)ij=0，j∈E即f(2)ij(t)是一個Feller轉(zhuǎn)移函數(shù)。
　　 由參考文獻(xiàn)[1]可知Feller轉(zhuǎn)移函數(shù)是后向方程的最小解，那么對偶一致突變?nèi)丝谶^程的最小轉(zhuǎn)移函數(shù)f(2)ij(t)同前向方程之間有沒有類似的性質(zhì)存在呢?根據(jù)下面的性質(zhì)我們將會看到對偶一致突變?nèi)丝谶^程的最小轉(zhuǎn)移函數(shù)f(2)ij(

4、t)不僅是前向方程的解，還是前向方程的唯一解。
　　 命題2.2.3若fij(t)為對偶一致突變?nèi)丝谶^程的最小轉(zhuǎn)移函數(shù)，則fij(t)是前向方程的唯一解。
　　 緊接著，我們討論了對偶一致突變?nèi)丝谶^程的滅絕概率和平均滅絕時間，得到了如下結(jié)果
　　 命題2.3.1令hi表示對偶一致突變?nèi)丝谶^程的滅絕概率，即hi=p(To＜+∞|x(0)=i)，則hi=iлm-0a+(m-1)b/a+m(m-1)b+md
　　

5、 命題2.3.2令mi表示對偶一致突變?nèi)丝谶^程的平均滅絕時間，即mi=E(To|x(0)=i)，(i≥0)，則mi={i∑j=1j-1лk=0a+(i-k-1)b/-[a+(i-k-1)b+(i-k)d][a+(i-j)b]i≥10i=0
　　 同對偶一致突變?nèi)丝谶^程一樣，在第三章中，我們從幾何突變q-矩陣的對偶矩陣入手，在此基礎(chǔ)上討論了其轉(zhuǎn)移函數(shù)的唯一性及其滅絕概率條件，得到如下結(jié)果
　　 命題3.1.1對偶幾何突變

6、人口過程的q-矩陣(Q)=(qij)具有如下形式，qij=(j-1)dqj-i-1 j≥i+1，i≠0-[a+(i-1)b+id] j=i，i≠0a+(i-1)b j=i-10其它情況其中常量a，b非負(fù)，d＞0，0≤q＜1/2，p=1-q.
　　 命題3.2.1對偶幾何突變?nèi)丝谶^程的q-矩陣(Q)=((q)ij)具有如下性質(zhì).(1)(Q)是一個Feller q-矩陣.(2)Q是零流出的.(3)Q在l1上是零流入的.