幾個非線性問題的算法研究.pdf

1、在這篇論文里，我們研究了幾個相互關聯(lián)的非線性問題的計算方法。文中所涉及到的問題分別是不動點問題、分裂可行問題、變分不等式問題和最大單調算子零點包含問題。其中，分裂可行問題可以寫成一類特殊的變分不等式問題，變分不等式問題可以寫成一類零點包含問題，而上述三個問題又都可以歸結為求相應算子的不動點問題。 第一章介紹了本文所研究的幾個非線性問題，它們之間的關系以及文中要用到的一些記號。 在第二章里，我們研究了求算子不動點問題的Kr

2、asnoselski—Mann(KM)迭代和廣義Krasnoselski—Mann迭代及其收斂性質。實際上，求算子不動點的問題應用非常廣泛，很多領域所涉及的問題都可以歸結為這一問題的形式。已有的KM定理給出了當算子非擴張(nonexpansive)且不動點存在時KM迭代的收斂性質。我們在這一章首先進一步探討了算子是F-非擴張(firmly nonexpansive)的情況下KM迭代的收斂結果，證明了此時迭代中的松弛因子由原來的區(qū)間[0，

3、1]可擴展到[0，2]；然后我們給出了廣義KM迭代格式并建立了相應的收斂性理論。同時，我們還討論了算子不存在不動點時迭代點列的收斂情況。我們證明了，當所給算子不存在不動點時，由KM迭代和廣義KM迭代格式所產(chǎn)生的點列是無界的。我們的廣義KM定理適用于幾種不同形式的廣義KM迭代格式。作為前述理論的說明和應用，我們還將廣義KM迭代和定理應用到凸可行問題和變分不等式問題的幾個求解方法中。 第三章里，我們研究了求解分裂可行問題的幾種投影方

4、法。所謂分裂可行問題，是求z∈C使得Ax∈Q，這里C和Q分別是R<'n>和R<'m>中的非空閉凸集。這類問題在信號處理及線性約束優(yōu)化問題的可行解等問題中有著重要應用。Byrne在2002年提出了求解該問題的CQ算法，該算法需假定正交投影R<,C>和P<,Q>是易于求得的。但在許多情況下，精確求解正交投影相當困難，甚至是根本不可能的?？紤]到這一點，我們基于Byrne的CQ算法和Mosco收斂，應用上一章給出的廣義KM定理，給出了求解分裂可

5、行問題的帶擾動的投影迭代格式，并通過進一步考察該問題的性質給出非精確迭代格式。與原有的CQ算法相比，我們的算法更為實用并易于實現(xiàn)。在這一章的最后，結合分裂可行問題的特點，我們提出了一種基于共軛梯度思想的方法來求解分裂可行問題，以期能夠提高收斂速度。 在第四章里，我們討論了一類廣義變分不等式，傳統(tǒng)定義中的變分不等式是這種廣義變分不等式的特例。我們這里的主要工作是，在弱協(xié)強制(weak co-coercivity)條件下證明了求解這

6、類變分不等式的幾種算法的收斂性。我們知道，協(xié)強制(co—coercivity)性質出現(xiàn)在很多求解變分不等式問題的算法的收斂條件當中，而楊慶之教授在2005年的兩篇文章中提出的弱協(xié)強制性條件在一般意義下弱于協(xié)強制性條件，故我們實際上是減弱了算法的收斂性條件。然后，我們指出，求解定義在R<'n>上的算子T的零點問題的一種F—B(forward—backward)分裂方法的收斂性條件中所要求的協(xié)強制性也可減弱為弱協(xié)強制性。最后，我們通過在算法

7、中引入Armijo不精確一維搜索進一步改進了前述求解變分不等式問題的算法。 最后在第五章里，我們考察了帶約束的最大單調算子零點包含問題的求解方法。我們首先在已有的無約束問題的逼近點算法(PPA)和F—B分裂方法的基礎上提出相應的投影方法。然后，我們利用P．Tseng改進F-B分裂方法的思想，給出了一個新的算法并證明了算法的收斂性。此后，我們進一步把算法中向一般閉凸集C∈R<'n>的正交投影改為向半空間C<,k>的正交投影，得到相