幾何非線性問題的有限元法

1、1第八章幾何非線性問題的有限元法8.1引言前面各章所討論的問題都是在小變形假設(shè)的前提下進(jìn)行的，即假定物體所發(fā)生的位移遠(yuǎn)小于物體自身的幾何尺寸，應(yīng)變遠(yuǎn)小于1。在此前提下，建立物體或微元體的平衡條件時可以不考慮物體的位置和形狀（簡稱位形）的變化，因此在分析中不必區(qū)別變形前后位形的差別，且應(yīng)變可用一階無窮小的線性應(yīng)變表達(dá)。實際上，上述假設(shè)有時是不成立的。即使實際應(yīng)變可能是小的，且不超過材料的彈性極限，但如果需要精確地確定位移，就必須考慮幾何非

2、線性，即平衡方程應(yīng)該相對于變形后的位置得出，而幾何關(guān)系應(yīng)該計及二次項。例如平板大撓度理論中，由于考慮了中面內(nèi)的薄膜應(yīng)力，求得的撓度比小撓度理論的結(jié)果有顯著的減低。再如在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題中，當(dāng)載荷達(dá)到一定數(shù)值后，撓度比線性解答予示的結(jié)果更劇烈地增加，并且確實存在承載能力隨繼續(xù)變形而減低的現(xiàn)象。在冷卻塔、薄壁結(jié)構(gòu)及其它比較細(xì)長的結(jié)構(gòu)中，幾何非線性分析都顯得十分重要。幾何非線性問題可以分為以下幾種類型：（1）大位移小應(yīng)變問題。一般工程結(jié)構(gòu)所遇到

3、的幾何非線性問題大多屬于這一類。例如高層建筑或高聳構(gòu)筑物以及大跨度網(wǎng)殼等結(jié)構(gòu)的分析常需要考慮到結(jié)構(gòu)大位移的影響。（2）大位移大應(yīng)變問題，如金屬壓力加工中所遇到的問題就屬于這一類型。（3）結(jié)構(gòu)的變形引起外載荷大小、方向或邊界支承條件的變化等。結(jié)構(gòu)的平衡實際上是在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形之后達(dá)到的，對于幾何非線性問題來說，平衡方程必須建立在結(jié)構(gòu)變形之后的狀態(tài)上。為了描述結(jié)構(gòu)的變形需要設(shè)置一定的參考系統(tǒng)。一種做法是讓單元的局部坐標(biāo)系始終固定在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形

4、之前的位置，以結(jié)構(gòu)變形前的原始位形作為基本的參考位形，這種分析方法稱作總體的拉格朗日（Ｌagrange）列式法；另一種做法是讓單元的局部坐標(biāo)系跟隨結(jié)構(gòu)一起發(fā)生變位，分析過程中參考位形是不斷被更新的，這種分析方法稱作更新的拉格朗日列式法。本章首先對幾何非線性問題作一般性討論，從中導(dǎo)出經(jīng)典的線性屈曲問題的公式；然后建立平板大撓度問題和殼體的大位移（及大轉(zhuǎn)動）分析的有限方法公式；接著還給出了大應(yīng)變及大位移的一般公式，最后還詳細(xì)討論了桿系結(jié)構(gòu)幾

5、何非線性問題的有關(guān)公式。在討論中我們采用總體的拉格朗日列式法，但對桿系結(jié)構(gòu)，為應(yīng)用方便我們給出了兩種列式法的公式。8.2一般性討論8.2.1理論基礎(chǔ)無論是對于何種幾何非線性問題，虛功原理總是成立的。由虛功原理，單元的虛功方程可以寫成如下的形式（8.1）????????0???????veeTeeTFdv???其中為單元節(jié)點力向量，為單元的虛應(yīng)變，為節(jié)點虛位移向量。??F??e????e??增量形式的應(yīng)變一位移關(guān)系可表示為（8.2）???

6、???eedBd???3（8.10）??????????eeeeD00)(???????上式中和分別為單元材料中可能存在的初應(yīng)變和初應(yīng)力。??e0???e0?將式（8.2）代入式（8.9）就可以得到應(yīng)力增量與單元節(jié)點位移增量之間的關(guān)系（8.11）????????eedBDd???將式（8.4）代入式（8.11）后得（8.12）??????????eLedBBDd??)(0??于是，式（8.8）左端中的第二項便可表示為（8.13）????

7、?????????????????????????????????????????????veLvTLTLvvLTTevTddvBDBdvBDBdvBDBdvBDBdvdB??))((0000若記(8.14)????????dvBDBkTv000????是與單元節(jié)點位移無關(guān)，它就是一般線性分析時的單元剛度矩陣。式（8.13）右端第??0k二層括號內(nèi)的項可記為（8.15）??????????????????????????vLTLTLLT

8、LdvBDBBDBBDBk)(00稱為單元的初位移矩陣或大位移矩陣，表示單元位置的變動對單元剛度矩陣的影響。??Lk現(xiàn)在再來看式（8.8）左端的第一項?？紤]到式（8.4）的關(guān)系并注意到與節(jié)點位移??0B無關(guān)，因此對節(jié)點位移的微分等于零，對于一個確定的有限元分析模型，式（8.8）左端的第一項可一般地寫成（8.16）????????????eevTLevTdkdvBddvBd????????????上式中稱為單元的初應(yīng)力矩陣或幾何剛度矩陣，