可積Hamilton系統(tǒng)和具有不變代數(shù)曲面的三維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué).pdf

1、可積Hamilton系統(tǒng)是非線性科學(xué)研究的一個(gè)重要分支，她廣泛地出現(xiàn)在力學(xué)、聲學(xué)，光學(xué)，生命科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，特別是天體力學(xué)、等離子物理、航天科技以及生物工程中很多模型都以可積Hamilton系統(tǒng)或者其擾動(dòng)系統(tǒng)的形式出現(xiàn)的。另外，很多描述混沌現(xiàn)象、非線性振動(dòng)和生物數(shù)學(xué)等模型都是三維的系統(tǒng)，如Lorenz系統(tǒng)，Rabinovich系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Rikitake系統(tǒng)和Lotka-Volterra系統(tǒng)等等。這些系統(tǒng)盡管形式上非

2、常簡單，但其動(dòng)力學(xué)極其復(fù)雜。至今都沒有完全弄清楚他們的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。為了簡化問題，往往考慮其具有首次積分或不變代數(shù)曲面的情況。 在研究微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)的過程中，人們十分關(guān)心其是否存在不變量。不變量的存在性問題從Poincare和Hilbert時(shí)代起就一直是人們普遍關(guān)心的問題。如果一個(gè)微分系統(tǒng)存在一個(gè)首次積分，他的動(dòng)力學(xué)的研究就可以降低一維。如果可積，則有可能了解系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。如果一個(gè)系統(tǒng)具有不變代數(shù)曲面，則通過不變代數(shù)曲

3、面上系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的研究，可以有助于整個(gè)空間中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究。因此可積Hamilton系統(tǒng)的存在性的判定，以及他們的拓?fù)?、幾何、代?shù)性質(zhì)的研究，以及具有不變代數(shù)曲面的微分系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的研究有著很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。但正如Poincare所指出：不變代數(shù)曲面和首次積分的尋找是十分困難的問題。 本文研究一些特殊Riemann流形上Hamilton系統(tǒng)的正交分離可積以及他們的拓?fù)潇?，和一些著名三維系統(tǒng)當(dāng)具有不變代數(shù)曲面時(shí)該系統(tǒng)軌道的全局

4、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。具體闡述如下。 本文第一部分介紹可積Hamilton系統(tǒng)的應(yīng)用背景及意義，系統(tǒng)全面的介紹了可積Hamilton系統(tǒng)及其拓?fù)潇氐难芯康陌l(fā)展歷程、國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀和具有不變代數(shù)曲面的三維系統(tǒng)的研究意義、歷史和發(fā)展。 第二部分在兩維環(huán)面T2上由三維空間自然誘導(dǎo)的度量下，研究具有兩個(gè)自由度的自然Hamilton系統(tǒng)的正交分離可積(這里的可積是在Liouville意義下)，得到這類系統(tǒng)所有可能的分類。并證明這類可積流如果

5、是解析的，則在任何緊的正則能量面上的拓?fù)潇貫榱?。進(jìn)一步地，我們通過例子顯示T2上的可積Hamilton統(tǒng)可以有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。例如，它們有多族不變環(huán)面，每一族都由同宿環(huán)狀柱面和異宿環(huán)狀柱面所包圍。據(jù)我們所知，這是第一個(gè)具體的例子來表現(xiàn)很多族環(huán)面在一個(gè)復(fù)雜的的方式下同時(shí)出現(xiàn)。 第三部分里我們首次在Riemann流形T2×[0，1]上給出了C∞光滑的正交分離的帶有勢能的自然Hamilton系統(tǒng)的特征。利用這些T2×[0，1]上的H

6、amilton系統(tǒng)，我們得到在Riemann流形MA=T2×[0，1]/～上C∞光滑可積的Hamilton系統(tǒng)。進(jìn)而，我們證明對于任何一個(gè)總能量不小于eH的可積Hamilton系統(tǒng)，存在一個(gè)零Lebesgue測度集合ΩD：={e∈R；e≥eH}，使得對任意的e∈D\Ω，約束在能量面{H=e}上的Hamilton流有正的拓?fù)潇?。?jù)我們所知，這是首個(gè)在Riemann流形上具有正拓?fù)潇氐腃∞光滑Liouville可積的自然Hamilton系統(tǒng)

7、的例子，而Bolsinov和Taimanov的例子是對于Riemann流形MA上的測地流得到的。 第四部分中，我們在Riemann流形Tn×[0，1]給出所有C∞光滑正交分離的自然Hamilton系統(tǒng)，即既有動(dòng)能又有勢能，的特征。然后，在這些系統(tǒng)中找出在Anosov映射誘導(dǎo)的n維環(huán)面雙曲自同構(gòu)，即Riemann流形MA：=Tn×[0，1]/～上C∞光滑可積的系統(tǒng)。特別地，我們討論了Anosov映射誘導(dǎo)的環(huán)面雙曲自同構(gòu)的譜有復(fù)特征

8、值的情況。進(jìn)而，我們證明了限制在正則能量面上的Hamilton系統(tǒng)有正的拓?fù)潇亍＿@里給出了一個(gè)任意有限維空間上的帶有正拓?fù)潇氐腃∞Liouvill可積的自然Hamilton系統(tǒng)的例子。 第五部分將研究具有不變代數(shù)曲面的Rabinovich系統(tǒng)x=hy-v1x+yz，y=hx-v2y-xz，i=-v3z+xy和Chen系統(tǒng)x=a(y-x)，y=(c-a)x-xz+cy，z=xy-bz，的軌線的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。我們完全解決了這兩類系統(tǒng)