兩類動力系統(tǒng)的分支與混沌.pdf

1、本文研究一個(gè)連續(xù)Josephson系統(tǒng)和一個(gè)離散Tinkerbell映射當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，動態(tài)的變化情況。
　　 對于帶參數(shù)激勵(lì)的Josephson系統(tǒng)，我們把它分為兩種未擾動系統(tǒng)進(jìn)行研究，即和首先應(yīng)用Melnikov方法，給出在周期擾動下系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件。接著，應(yīng)用二階平均方法和次諧波Melnikov函數(shù)，分析系統(tǒng)在未擾動中心附近的諧波解，(2，3，n-階)次諧波解和(2，3-階)超諧波解的存在性和分支。并且，我們發(fā)現(xiàn)，對于第一

2、種未擾動系統(tǒng)，應(yīng)用平均化方法，沒有二階次諧波與二階超諧波發(fā)生。通過數(shù)值模擬，包括二維參數(shù)平面和三維參數(shù)空間的分支圖，最大Lyapunov指數(shù)圖，相圖，Poincare映射，驗(yàn)證理論分析的結(jié)果且進(jìn)一步研究系統(tǒng)參數(shù)對動力學(xué)行為的影響。我們發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜且有趣的動力學(xué)現(xiàn)象，比如：跳躍行為，周期軌的對稱碰撞，瞬態(tài)混沌，混沌的產(chǎn)生，混沌突然轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谲?，?nèi)部危機(jī)，混沌吸引子，奇異的非混沌運(yùn)動，非吸引的混沌集，混沌區(qū)間中連續(xù)的周期-n(n=6，8，9，

3、等)軌的倍周期分支和連續(xù)的周期-n(n=4，8，12，等)軌的反倍周期分支，等等。特別地，當(dāng)參數(shù)β增加時(shí)，我們觀察到，經(jīng)歷一些奇異的非混沌運(yùn)動之后，接著出現(xiàn)連續(xù)的周期軌倍周期分支到混沌這樣一個(gè)過程。
　　 對于Tinkerbell映射，應(yīng)用中心流形定理和分支理論.第一次比較系統(tǒng)地導(dǎo)出了fold分支、flip分支和Hopf分支的存在條件并通過分析和數(shù)值模擬的方法證明了存在Marotto意義下的混沌。具體地講，我們找到了Marott

4、o意義下的混沌，發(fā)現(xiàn)了一條從不變環(huán)到瞬態(tài)混沌的路徑，這些瞬態(tài)混沌中有周期窗口，包括周期2，7，8，9，10,13，17，19，2326等周期，還觀察到了混沌的突然出現(xiàn)與消失，不變環(huán)變成周期1軌，對稱碰撞，混沌區(qū)域中連續(xù)的倍周期分支，內(nèi)部危機(jī)，混沌吸引子，2個(gè)、10個(gè)和13個(gè)分別共存的混沌集，兩個(gè)共存的不變環(huán)，以及與一個(gè)非吸引的混沌集共存的兩個(gè)吸引的混沌集等動力學(xué)現(xiàn)象。特別是，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，沒有明顯的路線從倍周期分支到混沌，但有從周期1軌

5、道到不變環(huán)，然后到瞬態(tài)混沌的線路。結(jié)合現(xiàn)有文獻(xiàn)，以及本文的新結(jié)果，使我們對Tinkerbell映射有一個(gè)較完整的理解。
　　 全文共分六章。
　　 第一章，介紹本文的研究背景及現(xiàn)狀、研究內(nèi)容、方法和意義。
　　 第二章，預(yù)備知識，簡單介紹連續(xù)和離散動力系統(tǒng)的分支和混沌，包括中心流形定理，二階平均方法，Melnikov方法，混沌的定義、特征，分形維數(shù)以及通向混沌的道路。
　　 第三章，應(yīng)用Melnikov方

6、法，給出帶參數(shù)激勵(lì)的Josephson系統(tǒng)在周期擾動下產(chǎn)生混沌的條件。并且，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析結(jié)果和系統(tǒng)參數(shù)對動力學(xué)性質(zhì)的影響，發(fā)現(xiàn)更復(fù)雜的動態(tài)。
　　 第四章，我們分析上述帶參數(shù)激勵(lì)的Josephson系統(tǒng)的周期解分支。應(yīng)用二階平均方法和次諧波Melnikov函數(shù)，分析系統(tǒng)在未擾動中心附近的諧波解，(2，3，n-階)次諧波解和(2.3-階)超諧波解的存在性和分支。并用數(shù)值模擬驗(yàn)證理論結(jié)果和發(fā)現(xiàn)新的動態(tài)。
　　 第