離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌判定和擾動(dòng).pdf

1、混沌(chaos)是非線性科學(xué)研究的中心，是非線性動(dòng)力系統(tǒng)普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式.同時(shí)，混沌研究對非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展起著全局性、本質(zhì)性的影響.非線性動(dòng)力學(xué)的某些研究一開始就與混沌探索聯(lián)系在一起.但是，直到20世紀(jì)50年代末，混沌理論創(chuàng)立之前，混沌概念還是極其模糊的.即使現(xiàn)在，不同領(lǐng)域?qū)煦绲睦斫庖埠懿幌嗤?一般而言，混沌是指在確定性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)的類似隨機(jī)的動(dòng)力學(xué)行為.混沌系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對初始條件

2、十分敏感.因此，從長期意義上講，系統(tǒng)的行為是不可預(yù)測的.
　　 關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)混沌的研究吸引了許多科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的興趣.1975年，Li與Yorke[33]研究了連續(xù)區(qū)間映射，得到了一個(gè)著名的結(jié)果：“飼期3蘊(yùn)含混沌”.該判定定理在研究一維離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌問題時(shí)有非常重要的作用.在該文中他們首次給出混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)定義.之后，出現(xiàn)了幾個(gè)不同的混沌定義[6，15，50，61].有些較強(qiáng)而有些較弱，依賴于對不同問題研究的需要.1978年

3、，F(xiàn).R.Marotto受Li-Yorke工作的啟發(fā)，把Li-Yorke定理推廣到n維空間，并給出了擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念.Marotto定理[46，定理3.1]證明了返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)致Li-Yorke意義下混沌.1998年，陳鞏等人發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[46]有一個(gè)錯(cuò)誤[11].2004年，史玉明和陳關(guān)榮給出了Marotto定理的修正定理[67，定理4.5].同年，史玉明和陳關(guān)榮抓住擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)，把Marotto對R

4、n中連續(xù)可微映射定義的擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念推廣到了一般度量空間中[66].并且史玉明等人建立了幾個(gè)完備度量空間上離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌判定定理[66，67，73].2006年，林偉和陳關(guān)榮建立了異宿擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)致混沌的判定定理[41].2008年，李宗成，史玉明和張超把異宿擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)這個(gè)概念推廣到了一般度量空間中[35].他們?yōu)榱烁又庇^的反映擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，將其稱之為連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán).并在一般Banach空間以及完備

5、度量空間上建立了連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)導(dǎo)致混沌的判定定理[34-38].
　　 1992年，Block和Coppel在研究連續(xù)區(qū)間映射時(shí)引入了“紊亂映射”(turbulentmap)的概念[10].并證明了如果連續(xù)區(qū)間映射f是嚴(yán)格紊亂的，那么f在一個(gè)緊子集上拓?fù)浒牍曹椨趩芜叿杽?dòng)力系統(tǒng)[10，第二章，命題15].由于單邊符號動(dòng)力系統(tǒng)有正的拓?fù)潇?，故f有正的拓?fù)潇兀瑥亩鴉是在Devaney和Li-Yorke意義下混沌[9，10，32

6、].2004年，楊曉松和唐云將該結(jié)果推廣到了一般度量空間中[88，定理1].2006年，史玉明和陳關(guān)榮將紊亂的概念推廣到了一般的度量空間.為避免和流體力學(xué)中湍流中的英文單詞“turbulence”混淆，他們將之更名為耦合擴(kuò)張映射“coupled-expanding map”[69].之后，史玉明與她的合作者不僅對度量空間中的緊集，而且對完備度量空間中的有界閉集(不必是緊集)，建立了一些由映射的耦合擴(kuò)張性導(dǎo)致混沌的判定定理[66-68，7

7、1-74，92].
　　 研究混沌動(dòng)力系統(tǒng)的擾動(dòng)問題是非常有意義的，因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受各種各樣的外界因素的干擾.Marotto在文獻(xiàn)[47，48]中討論了返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的擾動(dòng)問題，并證明了如果xn+1=f(xn，0)有返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，那么存在常數(shù)ε>0，使得當(dāng)∣λ∣<ε時(shí)，映射xn+1=f(xn，λxn-1)具有橫截同宿軌，其中f：R2→R是C1映射.隨后，Li和Lyu證明了：在歐氏空間中，如果映射具有返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，

8、那么在充分小的C1擾動(dòng)下，受擾映射依然具有返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，從而仍然是在Li-Yorke意義下混沌[31].值得注意的是上面討論的擾動(dòng)問題都是在有限維空間中進(jìn)行討論的.在本文中，我們將考慮在一般Banach空間中返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的擾動(dòng)問題，并得到在Banach空間中具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的映射在小擾動(dòng)下依然具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，從而受擾映射依然是在Devaney和Li-Yorke意義下混沌.
　　 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是動(dòng)力系統(tǒng)

9、理論中非常重要的研究課題之一.它意味著系統(tǒng)的拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)行為在小擾動(dòng)下保持不變的.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的思想要?dú)w功于Poincaré在研究三體問題時(shí)的工作[56].Lefschetz將Andronov和Khaikin的著作[3]翻譯成英語時(shí)首次提出“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定”一詞.從此，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定作為一個(gè)數(shù)學(xué)名詞被應(yīng)用.此后，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題被廣泛研究，并取得了一些漂亮的結(jié)果[58，61，93].在文獻(xiàn)[93]中，張旭，史玉明和陳關(guān)榮研究了歐氏空間中A-耦合擴(kuò)張映射的結(jié)構(gòu)

10、穩(wěn)定問題.我們將在本文中討論一般Banach空間中返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題.這一結(jié)論要比小擾動(dòng)下返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的保持性深刻得多.
　　 在現(xiàn)實(shí)世界中，有很多數(shù)學(xué)模型是時(shí)變系統(tǒng)，但為了方便研究，往往將其近似為自治系統(tǒng)進(jìn)行研究.由于時(shí)變離散系統(tǒng)是由映射族生成的，其動(dòng)力學(xué)行為比自治系統(tǒng)要復(fù)雜得多.例如，有限維的線性自治離散系統(tǒng)不可能是混沌的，但有限維線性時(shí)變系統(tǒng)可能在Li-Yorke意義下混沌[70，例2.1和例2.2].因此，

11、對時(shí)變離散系統(tǒng)的研究要比自治系統(tǒng)難得多.目前，對時(shí)變離散系統(tǒng)混沌的研究比較少[70，79].2009年，史玉明和陳關(guān)榮將自治離散系統(tǒng)混沌的概念推廣到時(shí)變離散系統(tǒng)，并建立了有限維線性時(shí)變離散系統(tǒng)在Li-Yorke意義下混沌的判定定理和一般時(shí)變離散系統(tǒng)在強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌的判定定理[70].
　　 上面已經(jīng)說到許多時(shí)變離散系統(tǒng)經(jīng)常被簡化為自治離散系統(tǒng).事實(shí)上，一些時(shí)變系統(tǒng)可以看做是自治離散系統(tǒng)的時(shí)變擾動(dòng).另外，時(shí)變離散系統(tǒng)

12、也可能受到擾動(dòng)，而該擾動(dòng)常常是隨時(shí)間變化的，即該擾動(dòng)常常是時(shí)變擾動(dòng).本文將研究Banaeh空間中嚴(yán)格A耦合擴(kuò)張導(dǎo)致混沌時(shí)變離散系統(tǒng)的微擾問題，其中A是特殊轉(zhuǎn)移矩陣.并利用得到的相關(guān)結(jié)論進(jìn)一步討論具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的自治離散混沌系統(tǒng)的時(shí)變微擾問題.
　　 本文主要研究了離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌判定和擾動(dòng)兩個(gè)方面的問題.本文由四章組成，主要內(nèi)容如下：
　　 第一章概述了混沌理論及應(yīng)用研究的進(jìn)展，給出了一些預(yù)備知識，其中包

13、括幾個(gè)常用的混沌定義，以及動(dòng)力系統(tǒng)中的一些基本概念，并回顧了符號動(dòng)力系統(tǒng)的一些基本概念和性質(zhì).
　　 第二章主要討論Banach空間中的由返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)致的混沌離散系統(tǒng)的微擾問題和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題.首先，如果映射具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，那么在微擾下受擾映射依然具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn).從而，受擾系統(tǒng)與原系統(tǒng)一樣是在Devaney和Li-Yorke意義下混沌.然后，討論了Banach空間中嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

14、.并利用這一結(jié)論證明了Banaeh空間中具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)映射在其混沌不變集上是C1結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.
　　 第三章主要討論Banach空間中時(shí)變離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌問題.首先建立了耦合擴(kuò)張映射導(dǎo)致的時(shí)變系統(tǒng)混沌的混沌判定定理，然后討論了時(shí)變微擾下耦合擴(kuò)張導(dǎo)致的混沌時(shí)變系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為的保持性，證明了受擾系統(tǒng)仍然是在強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌.利用上面的相關(guān)結(jié)論證明了具有正則非退化返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的映射在時(shí)變微擾下依然是強(qiáng)

15、Li-Yorke意義下混沌.最后給出了一個(gè)二維映射的例子及其計(jì)算機(jī)仿真圖.
　　 第四章主要討周期離散系統(tǒng)的混沌問題.首先我們討論周期離散系統(tǒng)與其誘導(dǎo)的自治離散系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)行為之間的關(guān)系.其次建立了耦合擴(kuò)張導(dǎo)致的周期離散系統(tǒng)混沌的混沌判定定理，再次考慮了周期微擾下耦合擴(kuò)張導(dǎo)致的混沌周期離散系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)行為的保持性，并證明了在周期微擾下，受擾周期離散系統(tǒng)是Devaney和強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌.進(jìn)一步，應(yīng)用此結(jié)論證明了具