一類特殊（α，β）-度量的旗曲率性質(zhì)及局部對偶平坦性質(zhì).pdf

1、本文對特殊(α，β)-度量的旗曲率和Ricci-曲率以及對偶平坦性質(zhì)進行了研究。第三部分首先研究了具有標(biāo)量旗曲率K=K(x，y)的(α，β)-度量F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3具有迷向S-曲率充分必要條件；接著計算了一類特殊的(α，β)-度量F=α+εβ+kβ2/α的Ricci曲率，證明了當(dāng)流形維數(shù)大于等于3時，若它具有迷向的Ricci曲率，則它是Ricci平坦的。從而得到若F=α+εβ+kβ2/α譬具有常數(shù)旗曲率，則其旗

2、曲率為零。第四部分對共形變換下的Finsler度量的性質(zhì)做了分析；對局部對偶平坦的Matsumoto度量的性質(zhì)做了討論。具體地是下面的結(jié)果： 定理3.1對n(n≥3)維流形M上的Kropina度量F=α2/β，若F具有標(biāo)量旗曲率K=K(x，y)，則F具有迷向S-曲率的充分必要條件是K為常數(shù)．此時S=0且旗曲率K滿足等式 4K(b2α2-β2)；si0si0b2. 定理 3.2若F=α+εβ+2kβ2/α-k2β2/3α3

3、為n維流形M上的Finsler度量，其中ε和k為常數(shù)且k≠0，若F具有標(biāo)量旗曲率K=K(x，y)，則F具有迷向S-曲率當(dāng)且僅當(dāng)F為Berwald度量，此時F為局部Minkowski度量． 推論 3.1令F=αφ(β/α)為n維流形上的Finsler度量，β是關(guān)于α的長度恒定的Killing 1-形式，若F具有標(biāo)量旗曲率K=K(x，y)，則K=0當(dāng)且僅當(dāng)β是閉的1-形式． 定理 3.3對n(n≥3)維流形M上的(α，β)-

4、度量F=(α+β)2/α，若它具有迷向Ricci曲率，則F是Ricci平坦的．定理 3.4給定n(n≥3)維流形上的(α，β)-度量F=α+εβ+kβ2/α，若F是Ricci迷向的，即 Ric=(n-1)λ(x)F2，其中λ=λ(x)是標(biāo)量函數(shù)，則λ：0，即它是Ricci平坦的． 推論 3.2給定n(n≥3)維流形M上的(α，β)-度量F=α+εβ+kβ2/α，若它具有迷向旗曲率K=K(x)，則K=0. 命題 4.1若F

5、和(F)是n維流形M上的兩個共形相關(guān)的Finsler度量，F(xiàn)是C-可約的，當(dāng)且僅當(dāng)(F)是C-可約的． 命題 4.2 若F和(F)是n維流形M上的兩個共形相關(guān)的Finsler度量，若F是Douglas度量，則(F)是Douglas度量當(dāng)且僅當(dāng)F2/2(ciyi=ciyi)=Bijklm(x)ykylym． 命題 4.3若F和(F)是n維流形M上的兩個共形相關(guān)的Finsler度量，即(F)(x，y)=ec(x)F(x，y)

6、，若F共形平坦，則以下條件等價： (a)F局部對偶平坦； (b)F局部射影平坦； (c)c0F4-clF=0. 其中cl：=(e)c/(e)xl，F(xiàn).l：=(e)F/(e)yl，c0：=ckyk． 定理 4.1(M，F(xiàn))是n(n≥3)維的Finsler流形，F(xiàn)=α2/α-β是Matsumoto度量，其中α是局部射影平坦的，若F是局部對偶平坦的，則α是平坦度量，β關(guān)于α是平行的，此時，F(xiàn)是局部Min