約束優(yōu)化問題的一類罰函數(shù)方法與誤差界理論及其應(yīng)用.pdf

1、本論文主要研究了約束最優(yōu)化問題中一類光滑罰算法的收斂性和有限終止性與用信賴域方法和序列二次規(guī)劃(SQP)方法的子問題定義的價(jià)值函數(shù)為投影梯度以及可行解至最優(yōu)解集的距離提供了誤差界，進(jìn)一步研究了可行解點(diǎn)列的收斂性和有限終止性.取得的主要結(jié)果可概括如下： 1.第2章對(duì)約束最優(yōu)化問題(NP)給出了一類光滑罰算法.它是基于一類逼近l1精確罰函數(shù)的光滑罰函數(shù)而提出的.這個(gè)算法的特點(diǎn)是每次迭代求出罰函數(shù)的全局精確解或者非精確解，在很弱的條件

2、下算法總是可行的.在不需要任何約束規(guī)范的情況下，證明了算法的全局收斂性，即算法產(chǎn)生的點(diǎn)列的任一聚點(diǎn)都是問題(NP)的最優(yōu)解.進(jìn)一步，證明了算法的一個(gè)攝動(dòng)定理，即算法產(chǎn)生的問題(NP)目標(biāo)函數(shù)值序列的極限存在且等于(NP)的攝動(dòng)函數(shù)在零點(diǎn)的極限.由這個(gè)定理可得出一系列有用的推論.特別是推出了問題(NP)的目標(biāo)函數(shù)值序列收斂于問題(NP)最優(yōu)值的充分與必要條件是攝動(dòng)函數(shù)在零點(diǎn)下半連續(xù).由于攝動(dòng)函數(shù)僅與問題(NP)有關(guān)，因此這個(gè)結(jié)果可以預(yù)先用

3、來有效地判斷算法是否收斂.我們不僅證明了在Mangasarian-Fromovitz約束規(guī)范成立的假設(shè)條件下，經(jīng)過有限次迭代后所有迭代點(diǎn)是可行解，而且還給出了它的必要條件.最后，分別在問題(NP)的解集是非退化與弱強(qiáng)極小的假設(shè)下，證明了算法在有限次迭代后，它的所有迭代點(diǎn)的梯度投影將終止于問題(NP)的最優(yōu)解，并進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法2.1產(chǎn)生的迭代點(diǎn)列{xk}的全局收斂性與在可行域上的投影梯度-xk=P(xk-▽f(xk)｜

4、S0)的有限終止性. 2.第3章在約束最優(yōu)化問題(NP)中，分別利用信賴域方法中的兩種信賴域子問題定義了兩種價(jià)值函數(shù)φ(χ，△)和φ(χ，△)，這兩種價(jià)值函數(shù)與先前文獻(xiàn)中正則間隙函數(shù)(也是一種價(jià)值函數(shù))有些不同，它們不是在可行解集S上產(chǎn)生，而分別是在給定點(diǎn)x∈S處約束函數(shù)和積極約束函數(shù)線性化后的多面體的一個(gè)信賴域上產(chǎn)生的.并研究了這兩種價(jià)值函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)將為下一章討論的誤差界奠定基礎(chǔ).關(guān)于價(jià)值函數(shù)的水平集的有界性的條件，在

5、以往的文獻(xiàn)中一般都要求相應(yīng)的映射是強(qiáng)單調(diào)的.最近，某文獻(xiàn)引入了比強(qiáng)單調(diào)相對(duì)弱的條件，即強(qiáng)強(qiáng)制性條件，在此條件下證明了變分不等式中自然剩余函數(shù)的水平集是有界的.但是對(duì)于本文中的價(jià)值函數(shù)φ(χ，△)和^φ(χ，△)來說，它的水平集的有界性，只需▽f(χ)滿足弱強(qiáng)制性條件. 3.第4章利用第3章所定義的兩種價(jià)值函數(shù)φ(χ，△)和φ(χ，△)，提供了幾類誤差界.利用價(jià)值函數(shù)蚤(χ，△)分別為投影梯度提供了一個(gè)全局誤差界和可行解至最優(yōu)解集

6、距離提供了一個(gè)局部誤差界；利用價(jià)值函數(shù)垂(χ，△)分別在強(qiáng)單調(diào)和單調(diào)的條件下，為可行解至最優(yōu)解集距離提供了一個(gè)全局誤差界和一個(gè)局部誤差界. 4.第5章利用第4章給出的誤差界，對(duì)可行解點(diǎn)列{χk，△k)(其中，χk∈S,△k是子問題 (QP(χk，△k))或(Q^P)(χk，△k))中在點(diǎn)χk處的信賴域半徑)的收斂性與有限識(shí)別進(jìn)行了分析.對(duì)于有限終止性，我們注意到它在凸最優(yōu)化問題中已經(jīng)得到廣泛的研究，一些文獻(xiàn)分別在解集滿足弱強(qiáng)極小

7、和非退化的條件下研究了可行解點(diǎn)列的有限終止性，并得到了很好的結(jié)果.為了對(duì)更一般的最優(yōu)化問題研究它的可行解點(diǎn)列的有限終止性，我們?cè)诒菊碌谌?jié)中，先對(duì)上述兩個(gè)條件進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析與比較，并進(jìn)行了某種推廣.最后，分別在廣義非退化以及廣義弱強(qiáng)極小的條件下，證明了ψ(χk，△k)收斂于零是可行解點(diǎn)列有限終止于K-T點(diǎn)的充要條件和有限終止于穩(wěn)定點(diǎn)的充分條件，它們改進(jìn)和簡(jiǎn)化了已有的相應(yīng)結(jié)果. 5.第六章，利用序列二次規(guī)劃(SQP)方法的子