關(guān)于常數(shù)數(shù)量曲率的子流形和Finsler流形上的調(diào)和函數(shù).pdf

1、本文分成兩大部分，共三章.第一部分包括第一和第二章，我們分別討論了單位球面Sn+p中具有常數(shù)量曲率的子流形和deSitter空間Sn+pp(c)中具有常數(shù)量曲率的類空子流形，得到了它們的剛性定理。第二部分主要討論了Finsler流形的上的調(diào)和函數(shù)。 令Mn是等距浸入單位球面Sn+P中的一個連通定向子流形。如果Mn是緊致無邊的，則我們稱它是閉的。用R,H和S分別表示Mn的規(guī)范化數(shù)量曲率，平均曲率和第二基本形式模長平方。關(guān)于子流形的

2、分類問題一直是讓人感興趣的問題。對于等距浸入到單位球面中的極小子流形或具有平行平均向量場的子流形，已經(jīng)得到了不少剛性的結(jié)果，問題也已經(jīng)研究得比較清楚([9][12]，[23]，[25])。于是，具有常數(shù)量曲率的子流形自然就成了大家的研究課題。Cheng和Yao最早研究了空間形式中的常數(shù)量曲率超曲面的([7])，引入了一個自共軛的二階橢圓算子。這個算子現(xiàn)在仍是我們研究常數(shù)量曲率子流形的最重要工具。但由于這類問題條件太弱，因此研究的時候總還

3、需要加一些條件，如截面曲率有下界，或法叢平坦等([7],[11])。本文第一章研究具有常數(shù)數(shù)量曲率和平行單位平均曲率向量場的子流形。顯然，后一個條件對于超曲面是自然滿足的。這方面已有了一些研究結(jié)果([11]，[13]，[33])。但文[13]，[33]僅僅是研究超曲面的情形，而文[11]研究了此條件下關(guān)于平均曲率的Pinching問題，得到的結(jié)果并不理想(因為其Pinching條件是關(guān)于R,H和S的方程式)。我們討論了這樣條件下關(guān)于第二

4、基本形式模長平方S的Pinching問題，得到了類似文[29]的最佳Pinching常數(shù)，即有如下定理：定理1.1.1([26])令Mn是等距浸入單位球面Sn+p中的具有平行單位平均曲率向量場的閉子流形。若R是常數(shù)且R≥1，則(i)若S≤2√n-1，同時n≥8或，n≥3且p≤2，那么必有下面兩種情況之一出現(xiàn)：(a)S=n(R-1)，此時Mn是Sn+p中的球面Sn(1/√R)；(b)n≥8或，n=7且p≤2，而S=2√n-1，此時Mn位于

5、Sn+p的一個全測地子流形Sn+1中，且Mn可表示為Sn-1(r1)×S1(r2)，其中r21=1+√n-1/1+√n-1，r22=1/1+√n-1。(ii)若S≤2n/3，同時3≤n≤7，則S=n(R-1)，此時Mn是Sn+p中的球面Sn(1/√R)； (iii)若n=2，S≤n(5R-1)，那么必有下面兩種情況之一出現(xiàn)： (a)S=n(R-1)，此時M2是S2+p中的球面S2(1/√R)； (b)S=n(5R

6、-1)，且p≥3，此時M2是S4(1/√3R)中的一個Veronese曲面，S4(1/√3R)是S2+(p-1)(1/√3R)中的全測地子流形，而后者又是S2+p中的一個全臍超曲面。在第一章的第4節(jié)，我們給出一個具體的例子，它是Sn+p中滿足S=2√n-1的n-維子流形。所以，當n≥8或，n=7且p≤2時，S=2√n-1是最佳Pinching常數(shù).本文的第二章討論了deSitter空間Sn+pp(c)中具有常數(shù)數(shù)量曲率和平行單位平均曲率

7、向量場的類空子流形Pinching問題。設(shè)Sn+pp(c)一個常曲率為c，指標為p的(n+p)維deSitter空間，Mn是等距浸入deSitter空間Sn+pp(c)中的一個黎曼流形。 如果Sn+pp(c)上的偽黎曼度量在Mn上誘導(dǎo)了一個黎曼度量，則稱Mn是deSitter空間Sn+pp(c)的一個類空子流形。 同球面的情況類似，對于等距浸入到deSitter空間的極大類空子流形和具有平行平均曲率向量場的類空子流形，已

8、經(jīng)有了許多剛性的結(jié)果([4]，[5],[15])。對于deSitter空間中具有常數(shù)量曲率的類空超曲面，上世紀九十年代就有了一些研究文章([6],[26])，但遺憾的是文[6]的結(jié)果是錯誤的(具體見本文第二章的前言)。近幾年，這方面的研究又有了不少成果([14]，[30],[34]，[36])。而對于高余維的情況，研究的文章還很少([31]，[37])。我們討論了這種子流形的第二基本形式模長平方S的Pinching問題。文[31]已經(jīng)對

9、此問題進行了研究，但其對R有限制，同時其Pinching條件與n，R有關(guān)，且無法判斷是否最佳。利用本章第四節(jié)證明的一個代數(shù)引理，我們得到了僅與n有關(guān)的一個Pinching常數(shù)，且此常數(shù)在n≥3時是最佳的。同時，本章的定理也是將文[30]關(guān)于超曲面的結(jié)果在緊致的條件下推廣到任意余維的子流形。定理具體內(nèi)容如下： 定理2.5.1([27])設(shè)Mn是等距浸入deSitter空間Sn+p1(c)中的具有平行規(guī)范化平均曲率向量場的閉類空子流

10、形。若R是常數(shù)且R≥c，則(i)如果n≥3，S≤2√n-1c，則或者S=n(c-R)，同時Mn是全臍的；或者S=2√n-1c，同時Mn是一個黎曼叉積Sn-1(c1)×H1(c2)，且Mn位于Sn+pp(c)的一個全測地子流形Sn+11(c)中，其中c1=√n-1-1/√n-1c，c2=(1-√n-1)c。 (ii)如果n=2，S≤2c，則Mn是全臍的。 在第二章的前言部分，我們還給出了實例，表明在n≥3時，定理2.5.1

11、中的Pinching常數(shù)S=2√n-1c是最佳。同時，此例也說明文[6]的結(jié)論是錯誤的。 在第二章的最后一節(jié)，我們考慮了完備類空子流形的余維約化問題，得到定理2.6.1([27])設(shè)Mn(n≥2)是等距浸入deSitter空間Sn+pp(c)中的具有平行規(guī)范化平均曲率向量場的完備類空子流形。若S≤2√n-1c，則Mn位于Sn+pp(c)的一個全測地子流形Sn+11(c)中。 本文的第二部分(第三章)主要討論Finsler

12、流形上的調(diào)和函數(shù)。Finsler流形上的幾何分析一直是研究者感興趣的方向，也有了不少的研究成果([2],[17]，[31])。但對于如何定義Finsler流形上的Laplacian算子仍沒有統(tǒng)一的結(jié)論。我們都知道，Laplacian算子在黎曼幾何的幾何分析是起著關(guān)鍵的作用。如何在Finsler流形上找到一個好的Laplacian算子，這就是本文第二部分研究的動機。首先，我們利用內(nèi)積定義了余微分算子，并從此引入關(guān)于函數(shù)的Laplacian

13、算子。容易看出，這樣定義的Laplacian算子是一個自共軛的二階橢圓算子(命題3.4.2)。進一步，我們有如下的極大值定理：定理3.4.4(Hopf極大原理)設(shè)(M，F(xiàn))為緊致無邊的Finsler流形，則(M，F(xiàn))上任何下調(diào)和的函數(shù)均為常數(shù)。 同時，我們發(fā)現(xiàn)這樣定義的調(diào)和函數(shù)與文[17]中定義的調(diào)和映射的特殊情況，即目標流形是R的情形是一致的。因此，文[17]中的調(diào)和映射也可以看成是本文前面定義的調(diào)和函數(shù)的推廣。但文[18]中

14、關(guān)于調(diào)和映射的充分必要條件不夠嚴密，本文對此作了修正。通過復(fù)合映射的張力場公式，證明了定理3.5.4光滑映射φ：(M，F(xiàn))→(N，h)是調(diào)和的當且僅當它和(N，h)上任一個凸函數(shù)的復(fù)合都是(M，F(xiàn))上的下調(diào)和函數(shù)。 第三章的最后部分是考慮了F流形上的測地線σ和它在射影球叢SM上的標準提升(~σ)([3])的關(guān)系。 設(shè)σ：[0，l]→M是M上的一條測地線，記其切向量場為T，即T(t)=σ'(t)。我們定義σ的一個標準提升(

15、~σ)：[0，l]→SM為(~σ)(t)=(σ(t)，T(t))，顯然，我們要求曲線σ是正則的，即切向量場T處處非零。我們可得命題3.6.1設(shè)σ是Finsler流形(M，F(xiàn))上的一條正規(guī)測地線，則它的標準提升(~σ)也是SM上的一條正規(guī)測地線。 進一步發(fā)現(xiàn)，只要旗曲率滿足一定的條件，不管原來的測地線多短，其提升測地線上都有共軛點，即命題3.6.2設(shè)σ是Finsler流形(M，F(xiàn))上的一條正規(guī)的極小測地線，且流形(M，F(xiàn))的旗曲率