脈沖微分方程邊值問題正解和多解的存在性.pdf

1、近年來，脈沖微分方程已經(jīng)成為微分方程研究領(lǐng)域的一個重要分支.相對于常微分方程而言，脈沖微分方程理論[1-3]在許多實(shí)際問題中有著更為廣泛的應(yīng)用.脈沖微分方程反映了一種瞬時突變的現(xiàn)象，這類方程在物理化學(xué)、人口動力系統(tǒng)、生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的具體模型中會經(jīng)常遇到.本文主要研究二階非線性脈沖微分方程邊值問題正解的存在性和多解性。本文分三部分。 在第一部分中應(yīng)用Leggett-Williams三解定理的一個推廣定理([4]，討論了邊值問

2、題{y"(t)+φ(t)f(t,y(t),y'(t))=0,t∈J'=(0,1)\{t1,…,tm},△y(tk)=Ik(y(tk),y'(tk)),k=1,…,m,△y'(tk)=Jk(y(tk),y'(tk)),k=1,…,m,ay(0)-by'(0)=0,cy(1)+dy'(1)=0,多正解的存在性，所得的結(jié)論推廣了文[5]中相應(yīng)的結(jié)果。同時我們?nèi)サ袅薴連續(xù)的條件，并且設(shè)f是與一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，從而得到了三個正解的存在性結(jié)果。換

3、句話說，我們考慮的是依賴于導(dǎo)數(shù)的正解的存在性結(jié)果。在第二部分，我們首先討論了非線性脈沖微分方程邊值問題中非線性項變號時正解的存在性。對于常微分方程邊值問題，這一問題已經(jīng)被廣泛研究，并得到了許多的結(jié)果.但在脈沖微分方程中，對此問題的研究的并不多。我們在§2.1中通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)耐瑐愃阕硬⑶依缅F內(nèi)的不動點(diǎn)指數(shù)理論，討論了下面的二階非線性脈沖邊值問題{-y"(t)=f(t,y(t)),t∈J'=[0,1]\{t1,…,tm},y(tk-0)=

4、y(tk+0)=y(tk),k=1,…,m,△y'(tk)=Jk(y(tk)),k=1,…,m,y(0)=y(1)=0,正解的存在性。同時將其結(jié)果與常微分方程邊值問題的相應(yīng)結(jié)果(文[6])作了比較，所得的結(jié)果包含了f非負(fù)和Jk=0(文獻(xiàn)[6])時的情形。其次，我們在§2.2中討論了下面的脈沖微分邊值問題多正解的存在性{-y"(t)=f(t,y(t)),t∈J'=[0,1]\{t1,…,tm},△y(tk)=Ik(y(tk)),k=1,…

5、,m,△y'(tk)=Jk(y(tk)),k=1,…,m,y(0)=y(1)=0.在這一部分的討論中，利用不動點(diǎn)指數(shù)理論，在f既非超線性又非次線性的情形下，得到了兩個正解的存在性定理，把文[7]的結(jié)果推廣到脈沖微分邊值問題上來。同時所得的結(jié)果涵蓋了Ik=0，Jk=0的一些相關(guān)結(jié)果。由得到的定理，我們可以明顯看出脈沖對于解的存在性的影響，可以使原本可能沒有解的邊值問題變得有解。在第三部分中，基于文[8]中的想法，通過構(gòu)造PC[0，1]上的

6、兩個錐的Cartesian積和相應(yīng)的“特征函數(shù)”，利用不動點(diǎn)指數(shù)的乘積定理，計算出其上的不動點(diǎn)指數(shù)，得出脈沖微分方程組的邊值問題{-u"(t)=f1(t,u(t))+h1(u,(t),v(t)),t∈J'=(0,1)\{t1,…,tm},-v"(t)=f2(t,u(t))+h2(u(t),v(t)),t∈J'=(0,1)\{t1,…,tm},△u'(tk)=I1k(u(tk)),△v(tk)=I2k(v(tk)),k=1,…,m,u(0