Sobolev空間中的多小波框架理論和采樣定理.pdf

1、本論文主要研究Sobolev空間H<'s>(R<'d>)中的多小波框架、多小波采樣定理以及特殊的Sobolev空間L<,2>(R<'d>)中的小波框架、多小波等, 其中d≥ 1。
　　 第一章簡(jiǎn)要介紹小波分析的發(fā)展史以及國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。
　　 第二章給出一些基本概念以及本文主要用到的記號(hào)。
　　 第三章研究(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中的M-對(duì)偶多小波框架, 其中s∈R+,M是可對(duì)角

2、化的伸縮矩陣。系統(tǒng)研究了(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中多小波框架的Bessel 性質(zhì)。H<'s>(R<'d>)中的多小波框架不要求具有消失矩, 另外,H<'-s>(R<'d>)中多小波框架具有Bessel 性質(zhì)所需的條件與此空間中的小波框架不同, 因?yàn)樵撔再|(zhì)不僅與框架函數(shù)本身有關(guān)而且與加細(xì)函數(shù)向量有關(guān)?；谝活悵M足Bessel 性質(zhì)的加細(xì)函數(shù)向量, 構(gòu)造出(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>)

3、)中的M-對(duì)偶多小波框架。
　　 傳統(tǒng)的小波(或多小波)采樣定理僅適用于小波(或多小波)子空間中的信號(hào)。假設(shè)L<,2>(R)中的某連續(xù)信號(hào)f不屬于任何的小波(或多小波)子空間, 或者難以判斷它是否屬于某個(gè)子空間, 那么傳統(tǒng)的采樣定理將失效?；诘谌碌睦碚? 第四章構(gòu)造一類特殊的對(duì)偶多小波框架, 并由此導(dǎo)出Sobolev空間H<'s>(R)中的多小波采樣定理, s＞1/2。對(duì)于L<,2>(R)中的連續(xù)信號(hào), 運(yùn)用此采樣定理均可精

4、確重構(gòu)。
　　 第五章給出加細(xì)函數(shù)向量逼近階的快速提升算法, 以及給出對(duì)稱正交多小波的參數(shù)化構(gòu)造。(Ⅰ)兩尺度相似變換(TST)是一種提升加細(xì)函數(shù)向量逼近階的重要方法。然而每次實(shí)施TST, 只能提升一階逼近階. 本章所提供的算法能一次提升逼近階到任意指定的整數(shù)。 進(jìn)一步地, 它還能夠保持加細(xì)函數(shù)向量的對(duì)稱性。(Ⅱ)對(duì)稱性和正交性是多小波的兩個(gè)十分重要的性質(zhì)。給出一類仿酉對(duì)稱矩陣的構(gòu)造算法,基于仿酉對(duì)稱矩陣和已有的對(duì)稱正交多小波,

5、 可以得到含參數(shù)的對(duì)稱正交多小波。 恰當(dāng)選擇參數(shù)可得到具有優(yōu)良性質(zhì)的多小波, 比如對(duì)稱Armlets。
　　 第六章的主要工作是給出L<,2>(R<'d>)中的小波框架的構(gòu)造算法。(Ⅰ)給出L<,2>(R<'d>)中的不可分對(duì)偶小波框架的顯式構(gòu)造。利用張量方法, 能十分容易地構(gòu)造高維可分的小波、小波框架. 然而, 可分的小波、小波框架在應(yīng)用上有些缺陷, 特別地, 在圖像處理中, 會(huì)留下較明顯的人為痕跡. 本章基于L<,2>(R<