小波理論在微分方程數(shù)值求解中的應(yīng)用.pdf

1、小波作為一個新興的數(shù)學(xué)分支，應(yīng)起始于S．Mallat和Y．Meyer在八十年代中后期所作的工作，即構(gòu)造小波基的通用方法，多分辨分析MRA。此后小波得到了迅猛的發(fā)展，在應(yīng)用方面更是掀起了一股應(yīng)用小波的熱潮，如信號處理、圖像分析、奇性檢測、邊緣分析、微分方程數(shù)值求解等。本文研究了小波理論的有關(guān)知識在微分方程數(shù)值求解中的一些應(yīng)用，具體研究內(nèi)容包括以下幾個方面： 第一章簡要綜述小波分析的發(fā)展歷程及其在微分方程數(shù)值求解方面的應(yīng)用。

2、 第二章詳細(xì)分析涉及本課題的小波基本理論和算法，如多分辨分析理論，Mallat算法等。 第三章在對Daubechies小波作比較詳細(xì)介紹的同時，引入了周期化的Daubechies小波和一些基于小波的微分方程數(shù)值求解方面的相關(guān)理論知識，為第四章中的微分方程數(shù)值求解做好鋪墊。 第四章首先基于小波-伽遼金法數(shù)值求解了具有周期邊界條件的一維：Helmholtz方程，然后將小波-伽遼金法和向后的Euler法相結(jié)合數(shù)值求解了具有周期

3、初邊界條件的一維熱傳導(dǎo)方程；最后提出小波最優(yōu)有限差分法(該方法的本質(zhì)是先基于小波生成一個不規(guī)則網(wǎng)格，然后再在不規(guī)則網(wǎng)格上利用有限差分法對偏微分方程進(jìn)行數(shù)值求解)，將它用于具有周期初邊界條件的非線性Burgers方程的數(shù)值求解，并和直線法的求解結(jié)果進(jìn)行對比，顯示了該方法在數(shù)值求解有局部急劇變化解的非線性偏微分方程的巨大潛力。 通過一些數(shù)值試驗表明：基于小波的微分方程數(shù)值求解不僅可以得到高精度的數(shù)值解(通過對具有解析解的Helmho