多連通區(qū)域上的算子與K-理論.pdf

1、函數(shù)空間上的算子理論一直是泛函分析的一個重要課題，它作為數(shù)學的一個分支，已經歷了相當長的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系[1-6]。 不同函數(shù)空間上的算子具有不同的特征，算子性質的研究大體上可以分為有界性、緊陛、譜性質、代數(shù)性質(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個方面．但經典的函數(shù)空間都是在以單位圓盤或單位圓周為基礎進行討論的，其各種性質都已經作了深入的研究，然而就一般區(qū)域上的算子，尤其是多連通上的算子，其研究尚不多見。主要是一些

2、的經典方法和常見結論都不能直接運用，這就決定了對這類算子的研究就變得十分困難。同時K-理論是研究圖形的拓撲性質與其上的算子性質之間的關系的一坐橋梁，事實上，區(qū)域的拓撲性質對于刻劃算子空間K-理論有著非同尋常的意義，因此，對一般連通區(qū)域上的算子及其K-理論的研究是一項十分重要的工作。 同時，由于區(qū)域的一般性，這就決定了一些重要算子，如Toeplitz算子、Hankel算子、復合算子等等的復雜性，與經典情形相比，這些區(qū)域上的算子其性

3、質發(fā)生了較大的變化，因而對一般區(qū)域上的算子的研究就顯得尤為重要． 本文著重討論了有界多連通區(qū)域上的Toeplitz算子、Hankel算子、復合算子以及K-理論的有關性質，主要分為以下幾個部分： 1、多連通區(qū)域上Toeplitz代數(shù)的K-群； 2、多連通區(qū)域上Dirichlet空間的Toeplitz算子：緊性、譜及指標公式； 3、多連通區(qū)域上Dirichlet空間的復合算子的有界性、Fredholm性及K-

4、性質。 對于定義在有界連通區(qū)域上的Bergman空間，本文首先指出了任意連通區(qū)域上的Toeplitz代數(shù)的K<,O>一群總是同構于相應的連續(xù)函數(shù)代數(shù)的K<,O>一群；其次，對一些特殊連通區(qū)域的本性邊界的上同調群和這些區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)代數(shù)的K<,O>一群都作了計算。 而對于定義在有界連通區(qū)域上的Dirichlet空間，本文首先給出了Toeplitz算子的Fredholm性的等價條件；其次計算了符號為C<'1>的Toepli