擬共形映照及其在調和映照中的應用.pdf

1、擬共形映照理論是復分析領域中一個非常重要的分支，而且交叉滲透到微分幾何、偏微分方程、拓撲學等其它數學學科中，同時廣泛應用于彈性理論、流體動力學、自動化工程學，動力系統和生物學等應用學科.因此研究擬共形映照理論及其應用具有重要的意義。本文旨在研究擬共形映照的極值理論和擬共形映照在調和映照中的應用。首先，對唯一極值的Beltrami系數，我們給出了判別截尾所誘導的Te-ichmüller等價類為Strebel點的一個充要條件，并利用它提供了

2、Hamilton序列的一種構造方法；而且通過截尾型的Beltrami系數給出了一個充分條件用于判別由Lowner方程決定的擬共形映照和擬共形形變兩者的極值性是等價的。其次，通過研究C2-Teichmüller映照的調和性，證明了在C2-Teichmüller映照類中不存在Schoen猜想的解.然后，針對調和擬共形映照的具體問題分別建立了相應的微分方程，證明了奇的C2類擬對稱同胚的Beurling-Ahlfors延拓不是Schoen猜想的

3、解；以及上半平面到自身上的π調和擬共形映照的逆只有共形映照是Schoen猜想的解等結果。文章分為五個部分： 第一章是本文的緒論。從擬共形映照的起源，定義，性質、和應用四個方面簡要地介紹了擬共形映照的歷史背景和研究意義，并闡述了本文研究問題的由來和現狀以及主要結果。 第二章研究擬共形映照的一些極值問題.我們給出了一個充要條件用于判別由唯一極值Beltrami系數誘導的截尾α的Teichmüller等價類[α]是否是T中的一

4、個Strebel點；同時也得到了判別α的唯一極值性的充要條件.利用截尾的這些性質我們提供Hamilton序列的一種構造方法；給出了擬共形形變F(w，t)的極值性等價于由Lowner方程確定的擬共形映照解f(z，t)的極值性的一個充分條件.另外，無限小極值情形下的一些對應結果也被給出。 第三章研究Teichmüller映照與調和映照的關系。給出了一個C2-Teichmüller映照為ρ調和的充要條件.利用這個結果我們證明了在C2-

5、Teichmüller映照類中不存在Schoen猜想的解；另外我們還獲得π調和映照的兩個特征。 第四章研究Beurling-Ahlfors延拓和調和映照的關系。首先給出了Beurling-Ahlfors延拓是關于雙曲度量調和的一個必要條件.特別地，若邊界對應h是C2和奇的，則其Beurling-Ahlfors延拓不是關于雙曲度量調和的。其次，證明了若h是分段C2的則其Beurling-Ahlfors延拓不是π調和的除非h(x)=