非局部時滯反應(yīng)擴散方程的波前解和整體解.pdf

1、自從上世紀七十年代以來，拋物型方程的行波解理論得到了充分的發(fā)展．人們發(fā)現(xiàn)行波解能夠很好的描述自然界中的振蕩現(xiàn)象及有限速度傳播問題，所以它的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等被廣泛研究．在自然界中，時間滯后總是存在的，所以自上世紀七十年代以來，有大量的工作從動力系統(tǒng)和半群的觀點出發(fā)對偏泛函微分方程(特別是時滯反應(yīng)擴散方程)進行了研究．然而，自上世紀九十年代初以來，人們在研究中發(fā)現(xiàn)時滯反應(yīng)擴散方程并不能準確地描述某些研究對象的時空行為．例如對一個生物

2、種群來說，它在空間上是走動的，所以它的位置隨時間而變化，這就導(dǎo)致了空間上的非局部交錯作用的發(fā)生．受此思想的促動，在生物種群、空間生態(tài)和流行病等領(lǐng)域，許多具有空間非局部作用的時滯擴散系統(tǒng)(反應(yīng)擴散方程，格微分方程)被建立，試圖更為準確地描述研究對象的時空模式．這類系統(tǒng)一般表現(xiàn)為在非線性項中結(jié)合了對過去時間和整個空間的加權(quán)平均，因此稱此類系統(tǒng)為非局部時滯反應(yīng)擴散系統(tǒng)．盡管這種系統(tǒng)能夠更加準確地反映所研究的實際問題，但時間時滯和空間非局部性也

3、同時導(dǎo)致了數(shù)學理論研究上的困難，并引起了許多動力學行為上的本質(zhì)改變．例如，時滯和非局部性可以導(dǎo)致方程不滿足比較原理，使得解半流很難向后延拓．時滯可以引起平衡點穩(wěn)定性的改變，導(dǎo)致振動發(fā)生，產(chǎn)生混沌等．就行波解來說，時滯能夠使最小波速降低，失去單調(diào)性，產(chǎn)生振動以及周期行波解等．特別，隨著非局部項的出現(xiàn)，解半流通常不再是緊的．因此，對此類問題的研究既有重要的理論和實際意義，也在數(shù)學上具有挑戰(zhàn)意義的困難．本論文繼續(xù)從動力系統(tǒng)的角度研究此類方程，

4、力圖對此類方程發(fā)展一些新的研究方法，建立一些新的抽象結(jié)果，結(jié)合具體模型探討時滯和空間非局部性特別是空間非局部性對方程動力學行為的影響，發(fā)現(xiàn)一些實際問題的未被發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)．本論文主要從行波解和整體解兩個方面來進行研究． 本文首先研究了非局部時滯反應(yīng)擴散系統(tǒng)的波前解的存在性．通過引入多種單調(diào)性條件、G-緊性和M-連續(xù)性等概念，對一類抽象的二階混合型泛函微分方程建立了解的存在性．方法是單調(diào)迭代結(jié)合上下解技術(shù)，并且運用非標準序發(fā)展了新的迭

5、代序列．然后運用這些結(jié)果到相應(yīng)的行波系統(tǒng)，從而建立了波前解的存在性．這使得關(guān)于波前解的存在性結(jié)果可以應(yīng)用到具有各種核函數(shù)的非局部時滯反應(yīng)擴散系統(tǒng)．作為應(yīng)用，詳細討論了一類具有非局部時滯的單物種擴散模型的單調(diào)波前解的存在性，并通過選擇幾類不同的核函數(shù)而獲得了一些波前解的存在性準則． 其次，研究了具有非局部時滯的擬單調(diào)反應(yīng)對流擴散方程的波前解的存在性、唯一性和漸近穩(wěn)定性．對非線性項分別考慮了兩種情形，即單穩(wěn)型和雙穩(wěn)型．對具有單穩(wěn)型非

6、線性項的方程，波前解的存在性是利用前面建立的結(jié)果獲得的，而漸近穩(wěn)定性是利用擠壓技術(shù)結(jié)合比較定理被證明的．進一步，證明了波前解在負無窮遠處的先驗漸近行為，同時也得到了波前解的不存在性，進而由穩(wěn)定性結(jié)果直接得到了唯一性．特別地，我們發(fā)現(xiàn)時間時滯能夠降低漸近傳播速度而空間非局部作用能夠加快漸近傳播速度．對具有雙穩(wěn)型非線性項的方程，構(gòu)造了許多對不同的上下解并利用比較原理結(jié)合擠壓技術(shù)證明了方程有唯一的波前解(波速也是唯一的)，該波前解是單調(diào)遞增的

7、并且是全局漸近穩(wěn)定的．對這兩種類型的方程，都考慮了對流對傳播速度的影響．當應(yīng)用到一些生物種群和傳染病模型中時，得到了許多有實際意義的結(jié)果。 最后，利用前面得到的單調(diào)行波解并結(jié)合比較定理，對具有非局部時滯的擬單調(diào)反應(yīng)擴散方程證明了整體解的存在性．整體解存在性證明的一個重要思想就是構(gòu)造適當?shù)纳舷陆鈦泶_定整體解在時間變量趨于負無窮大時的漸近行為．對雙穩(wěn)型方程，進一步證明了它的唯一性和Lyapunov穩(wěn)定性．對單穩(wěn)型方程，通過考慮行波解