一些非線(xiàn)性發(fā)展方程（組）的辛和多辛算法.pdf

1、本文主要研究了一些非線(xiàn)性演化方程和方程組的辛和多辛算法．用辛和多辛算法研究了對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波(簡(jiǎn)稱(chēng)SRLW)方程和Klein-Gordon-SchrSdinger (簡(jiǎn)稱(chēng)KGS)方程組的孤立波隨時(shí)間的演化情況，及其有關(guān)的守恒律． 孤立波及其理論是現(xiàn)代非線(xiàn)性科學(xué)研究的重要組成部分，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型往往是線(xiàn)性或者非線(xiàn)性的偏微分方程或者方程組，它遍布現(xiàn)代科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域和角落，在流體力學(xué)，原子分子物理，等離子體物理，光纖通訊，化學(xué)化

2、工，生物醫(yī)藥等諸多科學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用．近幾十年來(lái)，孤立波方程定解問(wèn)題的精確求解及其理論研究一直是科學(xué)研究的一個(gè)熱門(mén)課題，取得了豐碩的研究成果．求解孤立波方程精確解的方法除了傳統(tǒng)的反散射方法、Hirota雙線(xiàn)性方法、Backlüind變換方法外，近年來(lái)又涌現(xiàn)了很多新方法，如齊次平衡法、雙曲正切法，級(jí)數(shù)展開(kāi)法等．雖然已經(jīng)有了這么多求解孤立波方程精確解的方法，但是由于事物的復(fù)雜性，大多數(shù)定解問(wèn)題還是不能精確求解的，只能通過(guò)數(shù)值方法近似求解，特

3、別是對(duì)于非線(xiàn)性的情形． 一切耗散效應(yīng)可以忽略不計(jì)的物理過(guò)程都可表示成能夠保持辛幾何結(jié)構(gòu)不變的哈密爾頓系統(tǒng)的形式，它在自然界中具有普適性，也就是說(shuō)大多數(shù)孤子方程都可以表示成哈密爾頓形式．現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算的基本原則是盡可能保持原問(wèn)題的本質(zhì)特征．因此，研究保持哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何結(jié)構(gòu)特征的數(shù)值方法是必然的．為了適應(yīng)這一需要，我國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)的奠基人馮康院士首次在1984年系統(tǒng)地提出了能夠保持哈密爾頓系統(tǒng)辛結(jié)構(gòu)不變的辛幾何算法。隨后，辛算法成為

4、國(guó)內(nèi)外計(jì)算科學(xué)討論的一個(gè)熱門(mén)課題，在這一領(lǐng)域涌現(xiàn)了一大批的研究成果．自從馮康院士提出辛算法以后，這一算法有了兩次大的飛躍和發(fā)展，一次是從有限維向無(wú)限維的推廣，一次是向多辛算法的深入發(fā)展．二十世紀(jì)九十年代后期，Marsden等從變分原理的角度提出了多辛積分的概念，而B(niǎo)ridges，Reichs從辛幾何的角度提出了多辛算法，近年來(lái)這一算法得到了迅猛的發(fā)展，它已經(jīng)成功地用來(lái)解決了很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，模擬了各種物理現(xiàn)象． 本文第一章對(duì)辛和多辛

5、算法的相關(guān)背景作了簡(jiǎn)單介紹，對(duì)辛空間的基本知識(shí)作了簡(jiǎn)要的回顧． 第二章簡(jiǎn)單總結(jié)了構(gòu)造哈密爾頓系統(tǒng)辛算法的常用方法，主要有生成函數(shù)法，Runge-Kutta方法，塊Runge-Kutta，可分哈密爾頓系統(tǒng)的顯式方法和構(gòu)造高階精度格式的復(fù)合方法等．本章最后還介紹了把無(wú)限維哈密爾頓系統(tǒng)降低為有限維系統(tǒng)的Fourier擬譜方法． 第三章構(gòu)造了KGS方程組的一族辛格式，分析了此族格式的守恒律和收斂速度．證明了我們構(gòu)造的辛格式保持電

6、荷守恒，而且分析了它的能量誤差，證明了數(shù)值解的整體截?cái)嗾`差和解的收斂速度均為0(T<'2>+h<'2m>)．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)表明我們所構(gòu)造的辛格式具有長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值模擬能力，我們的理論分析是正確的． 第四章簡(jiǎn)單介紹了多辛哈密爾頓系統(tǒng)及其相關(guān)的守恒律．以KGS方程組為例介紹了一些構(gòu)造多辛算法的常用方法，主要有Fortrier擬譜方法，GaUSS-Legendre Runge-Kutta方法等．對(duì)KGS方程組研究了它的多辛格式的守恒律．通過(guò)分

7、析我們發(fā)現(xiàn)對(duì)KGS方程組而言，Preissman格式在加權(quán)意義下電荷守恒，而多辛Fourier擬譜方法具有經(jīng)典意義下的電荷守恒律，而能量表達(dá)式由于是三次多項(xiàng)式，Preissman格式和多辛Fourier擬譜格式均不具有能量守恒的特征，盡管如此，用多辛格式模擬所產(chǎn)生的誤差相對(duì)較?。覀冞€精確分析了能量和動(dòng)量的殘量．?dāng)?shù)值例子表明我們所構(gòu)造的格式能夠模擬各種孤立波，得到了很多有趣的物理現(xiàn)象．同時(shí)也說(shuō)明了我們的理論分析的正確性． 第五