可積系統(tǒng)與非等譜孤子方程的求解.pdf

1、本文研究的主要內(nèi)容包括：孤子方程族的生成和Lie群結(jié)構(gòu)方程，Hamilton結(jié)構(gòu)，Liouville可積性，無(wú)窮守恒律，Lax對(duì)與共軛Lax對(duì)的雙非線(xiàn)性化及可積辛映射與有限維Hamilton系統(tǒng)，孤子方程的擴(kuò)展可積模型.利用Hirota方法，Wronskian技巧來(lái)研究一些等譜與非等譜孤子方程的多孤子解.利用(2+1)維孤子系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)約束生成(1+1)維的孤子方程，并應(yīng)用Gateaux導(dǎo)數(shù)與泛函導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得到位勢(shì)對(duì)稱(chēng)約束的完全形式.

2、 在第二章中，首先從所建立的新譜問(wèn)題出發(fā)導(dǎo)出一族Lax可積的孤子方程，并研究它的雙Hamilton結(jié)構(gòu)與Liouville可積性.應(yīng)用Lax對(duì)與共軛Lax對(duì)的雙非線(xiàn)性化方法生成新的可積辛映射與有限維Hamilton系統(tǒng).由此利用可換流的對(duì)合解給出孤子方程族解的對(duì)合表示.最后構(gòu)造新的Loop代數(shù)(G)，得到該方程族的擴(kuò)展可積模型. 第三章主要研究三個(gè)離散的等譜問(wèn)題.首先從第一離散的譜問(wèn)題導(dǎo)出一類(lèi)晶格孤子方程，并證明它具有離散的

3、Hamilton結(jié)構(gòu)與Liouville可積性.通過(guò)雙非線(xiàn)性化方法生成新的有限維Hamilton可積系統(tǒng)與可積辛映射，并給出它的無(wú)窮守恒律.其次，構(gòu)造新的代數(shù)系統(tǒng)，導(dǎo)出與Lotka-Volterra格相關(guān)的離散方程族，并研究它的可積性與可積耦合.最后從第三譜問(wèn)題出發(fā)導(dǎo)出離散孤子方程的正負(fù)族，并求出位勢(shì)函數(shù)和特征函數(shù)的對(duì)稱(chēng)約束，由Lax對(duì)的非線(xiàn)性化產(chǎn)生新的可積辛映射與有限維Hamilton系統(tǒng). 第四章首先從Lie群結(jié)構(gòu)方程導(dǎo)出非

4、等譜AKNS方程族.通過(guò)選取Loop代數(shù)建立非等譜AKNS方程族的擴(kuò)展可積模型.利用Hirota方法獲得非等譜AKNS方程的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程，并給出N-孤子解的表達(dá)式.應(yīng)用Wronskian技巧證明非等譜AKNS方程具有雙Wronskian解.通過(guò)約化獲得非等譜Schr(o)dinger方程與它的N-孤子解和Wronskian解.最后建立非等譜AKNS方程的廣義雙Wronskian解.其所用的技術(shù)可推廣到其它非等譜方程. 第五章對(duì)

5、Hirota方法作直接地推廣.以修正Vakhnenko方程為例，求得Hirota形式的新解.對(duì)于Wronskian技巧，引入對(duì)參數(shù)的求導(dǎo)，以修正Bogoyavlenskii-Schiff方程為例，得到廣義的新Wronskian解. 第六章主要研究2+1維孤子系統(tǒng)的位勢(shì)約束問(wèn)題.通過(guò)高維孤子系統(tǒng)的位勢(shì)約束生成低維的孤子方程族.首先由KP系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)約束生成了AKNS方程族，并給出其隱形表示.進(jìn)而推廣KP系統(tǒng)的約束，且求得多元的非等譜