全純Proper映照和Loewner鏈的邊界性質(zhì).pdf

1、分類號017456學(xué)校代碼10542密級學(xué)號200921011024全純Proper映照和Loewner鏈的邊界性質(zhì)ProperholomorphicmappingsandBoundary一一一一——1■●nT■●benaVl0Ur0IL0eWnerCnaln研究生姓名：劉春生指導(dǎo)教師姓名、職稱：董新漢教授學(xué)科專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向：分形幾何與復(fù)分析湖南師范大學(xué)學(xué)位評定委員會辦公室二零一二年五月摘要IIIIlllllIIIIIIIIII

2、Illl＼2147554Proper映照是多復(fù)變函數(shù)的重要研究對象，單復(fù)變的proper映照則主要考慮在Riemann曲面上。但是，近幾年proper映照、分形幾何和邊界性質(zhì)問題的交叉區(qū)域受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并且取得了一定成績。Loewner微分方程是單葉函數(shù)中的一個重要內(nèi)容，它被證明是解決單葉函數(shù)中極值問題最有用的工具之一，典型的例子是Bieberbach猜想的證明。1999年，OdedSchramm提出了一族帶有一個參數(shù)的隨機(jī)共形映射

3、，它可以通過解一個含有布朗運(yùn)動的微分方程得到。實(shí)際上，這個微分方程就是在Loewner微分方程中取一個標(biāo)準(zhǔn)的Brownian運(yùn)動為驅(qū)動函數(shù)得到的(即A(￡)：以B)。人們稱這個隨機(jī)版本的Loewner微分方程為StochasticLoewnerEvolution簡記(SLE)，它是一個新的研究方向，不僅在數(shù)學(xué)上，更在統(tǒng)計物理學(xué)上有著重要的意義。該研究方向以單復(fù)變函數(shù)論為工具，Loewner微分方程為基礎(chǔ)，與現(xiàn)代概率論、物理學(xué)、共形場論緊

4、密結(jié)合，互相滲透，是一個前沿研究方向。美國康乃爾大學(xué)教授LawlerGF是該領(lǐng)域最活躍的人物之一，并于2005年出版了第一本系統(tǒng)介紹該理論的書：ConformallyInvariantProcessesInThePlane(MathematicalSurveysAndMonographs，v01114)。目前已經(jīng)有兩位數(shù)學(xué)家因在這個領(lǐng)域有杰出工作分別在2006年和2010年獲得菲爾茲獎。本文第一章介紹Proper映照和Loewner鏈的

5、一些基本知識和現(xiàn)有結(jié)論以及本文主要結(jié)論。本文的核心在第二章和第三章。第二章主要研究了有界解析函數(shù)的拓?fù)涠群蜕习肫矫娴缴习肫矫娴哪婢o映照的具體形式。第三章主要從以下幾個方面著手考慮Loewner鏈gt(z)的邊界性質(zhì)：(1)考察k的單調(diào)性，我們證明了L。是單調(diào)遞增的；(2)估計L。長度，我們得到了L。長度與驅(qū)動函數(shù)、上半平面的容量及對數(shù)容量之間的關(guān)系；(3)討論Loewner鏈gt(。)在邊界上的導(dǎo)數(shù)，估計這個導(dǎo)數(shù)的范圍和它增長的快慢；(