微分幾何論文曲率

1、姓名： 學(xué)號：摘要曲率是用來刻畫曲線的彎曲程度，直觀上當(dāng)一點(diǎn)沿曲線以單位速度進(jìn)行時，方向向量轉(zhuǎn)動的快慢反應(yīng)了曲線的彎曲程度。半徑小的圓的彎曲得厲害。曲率的彎曲程度在工程技術(shù)、自然科學(xué)和日常生活中有著重要的作用。曲線曲率的應(yīng)用廣泛，本文就此簡單介紹一下曲線曲率。關(guān)鍵詞：空間曲線 ；平面曲線 ；曲線曲率 ；全曲率 ；相對曲率1. 1.空間曲線的曲率 空間曲線的曲率設(shè)給定的空間曲線 是 類曲線，其中 為曲線的自然參數(shù)，在其上賦予 ) (

2、 : s r r ? ? ? ? 3 C sFrenet 標(biāo)架 ，則參數(shù) 的變化導(dǎo)致標(biāo)架基本向量的變化，而標(biāo)架 ? ? ) ( ), ( ), ( ); ( s s s s r ? ? ? ? ? ? ? s的變化刻畫出曲線 在一點(diǎn)鄰近的形狀[2] [2]。 ?是 對 的旋轉(zhuǎn)速度，它刻畫出 在 點(diǎn)鄰近的彎曲程度。? ? ?? r ? ? ? ) (s ? ? s ? s對于曲線 ，稱 為曲線 在 點(diǎn)的曲率，當(dāng) 時，其倒 ) ( : s

3、r r ? ? ? ? ) ( ) ( s r s k? ?? ? ? s 0 ) ( ? s k數(shù) 稱為曲線 在 點(diǎn)的曲率半徑。 ) (1 ) ( s k s ? ? ? s注：曲率 為 對 的旋轉(zhuǎn)速度，并且 。事實(shí)上， ) (s k ? ? s ) ( ) ( ) ( s s k s ? ?? ? ??. ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? krr

4、r r ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ?定理：空間曲線 為直線的充分必要條件是其曲率 . ) ( : s r r ? ? ? ? 0 ) ( ? s k證明：若 為直線 ，其中 和 都是常量，并且 ，則 ? b a s s r? ? ? ? ? ) ( a ? b ?1 ? a ?；反之，若 ，則 ，兩次積分后有 ， 0 ) ( ) ( ? ?? ?s r s k ? 0 ) ( ) ( ? ?? ?s r s k ?o

5、s r ? ? ?? ?) ( b a s s r? ? ? ? ? ) (所以該曲線是直線。設(shè)曲線 的一般參數(shù)表示為 ，則有 ? ) (t r r ? ? ?222 “ ' ) ( ) ( ) ( dts d r dtds r t r dtds r dtdsdsr d t r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，于是記 的全長為 ，全曲率 ；記 的切線像為 C l ? ?C ds s k K ) ( C? ?)

6、 (, 0 : : 3 * *s T sE l T r C??? ? ?總記 的弧長微元 。顯然， 當(dāng) 時以 為正則參數(shù)，而且此時連 * C ds s k ds ) ( * ? * C 0 ) ( ? s k s續(xù)可微正則閉曲線 的全長為[5]+[9] [5]+[9] * C0 ) ( * ? ? ? ? K ds s k lC（2.2.1）直接觀察可知，當(dāng) 為圓周時 。對一般的閉曲線 進(jìn)行觀察，直觀判 C ? 2 * ? ? K l

7、C斷其“彎曲程度總和”應(yīng)不低于圓周，從而可以猜斷成立 。 的長度還可以通 ? 2 * ? l * C過觀察其與單位球面的任一大圓弧的交點(diǎn)數(shù)目而做出猜測；事實(shí)上，對任一給定方向，以之法向必至少存在 的兩張切平面（允許重合但注意切點(diǎn)的不同） ，故 與單 C * C位球面上的任一大圓弧的相交次數(shù)至少為 2.定理： 中的二階連續(xù)可微閉曲線 的全曲率 ，且等號當(dāng)且僅當(dāng) 為平面 3 E C ? 2 ? K C上的二階連續(xù)可微凸閉曲線時成立。引理 1

8、.若閉曲線 的連續(xù)的切線像 落在一閉半球 上，則 必落在 的邊界 C * C B * C B大圓上，且此時 必為連續(xù)可微的平面閉曲線。 C證明：不妨令 為以 為北極的北閉半球面，則 落在 上即為 。故有 B p * C B 0 * ? ? p r ?? ? 0 ) ( 0 0' * ? ? ? ? ? ? ? ? ?lC C p r ds p r ds p r ? ? ? ? ? ?而 是連續(xù)函數(shù)，從而只有 T r? ? ? *

9、? ? l s p T p r , 0 0 * ? ? ? ? ?， ? ? ? ?此即 落在 的邊界大圓上。進(jìn)一步注意到 * C B? ? l s du p u r p r p s rs , 0 0 ) ) ( ( ) 0 ( ) (0' ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?即知 落在以 為法向的某張平面之上。 C p ?推論 1.連續(xù)的切線像 不可能落在單位球面的任一半球面內(nèi)。 * C推論 2.若連續(xù)的切