微分幾何習(xí)題解答曲線論

1、微分幾何主要習(xí)題解答1第一章第一章曲線論曲線論2向量函數(shù)5.向量函數(shù)具有固定方向的充要條件是=。)(tr?)(tr?)(tr?0?分析：一個向量函數(shù)一般可以寫成=的形式，其中為單位)(tr?)(tr?)(t?)(te?)(te?向量函數(shù)，為數(shù)量函數(shù)，那么具有固定方向的充要條件是具有固定方)(t?)(tr?)(te?向，即為常向量，（因為的長度固定）。)(te?)(te?證對于向量函數(shù)，設(shè)為其單位向量，則=，若具有固)(tr?)(te?)

2、(tr?)(t?)(te?)(tr?定方向，則為常向量，那么=，所以=（）=。)(te?)(tr?)(t?e?r?r???e?e?0?反之，若=，對=求微商得=，于是r?r?0?)(tr?)(t?)(te?r??e??e?=（）=，則有=0或=。當=0時，=可與任r?r?2?e?e?0??e?e?0?)(t?)(tr?0?意方向平行；當0時，有=，而（=(＝，（因??e?e?0?e?e?2)22ee??e?e?2)2e?為具有固定長，=

3、0），所以=，即為常向量。所以，具有固e?e?e?e?0?e?)(tr?定方向。6向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是（）=0。)(tr?r?r?r?分析：向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是存在一個定向向量，使)(tr?)(tn?=0，所以我們要尋求這個向量及與，的關(guān)系。)(tr?n?n?n?r?r?證若平行于一固定平面π，設(shè)是平面π的一個單位法向量，則為常)(tr?n?n?向量，且=0。兩次求微商得=0，=0，即向量，，垂)(tr?n?

4、r?n?r?n?r?r?r?直于同一非零向量，因而共面，即（）=0。n?r?r?r?反之若（）=0，則有=或。若=，由上題r?r?r?r?r?0?r?r??0?r?r?0?知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若，則存在數(shù)量函數(shù))(tr?r?r??0?微分幾何主要習(xí)題解答3９求曲線在平面與y=9a之間的弧長。22323axzyax??3ay?解曲線的向量表示為＝，曲面與兩平面與y=9a的r?23223xaaxx3ay?交點分別為x=a與

5、x=3a＝，｜｜＝＝，所求弧長為r?212222xaax?r?444441xaax??22222xaax?。adxxaaxsaa9)2(22322????10.將圓柱螺線=a，a，b化為自然參數(shù)表示。r?tcostsint解=aab，s=，所以，r?tsintcostbadtrt220||????22bast??代入原方程得=aar?cos22bas?sin22bas?22babs?11.求用極坐標方程給出的曲線的弧長表達式。)(???

6、?解由，知=，???cos)(?x???sin)(?yr?)(???cos???sin)()(??，||=，從到的曲線的弧長是s=?sin???cos)(r?)()(22?????0?????0。)()(22?????d?4空間曲線1求圓柱螺線=a，=a，=b在任意點的密切平面的方程。xtcosytsinzt解=aab=aa0r?tsintcosr?tcostsin所以曲線在任意點的密切平面的方程為=0，即(b)x(b)yazabt=0