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1、 初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)培優(yōu)講義第一講 和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖:數(shù)二、 絕對(duì)值的意義:(1)幾何意義:一般地,數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù) a 的絕對(duì)值,記作|a|。(2)代數(shù)意義:①正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身;②負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);③零的絕對(duì)值是零。?a?當(dāng) a 為正數(shù)???也可以寫(xiě)成: |a|??0?當(dāng) a 為 0?????a?當(dāng) a 為負(fù)數(shù)?說(shuō)明:(Ⅰ)|a|≥0 即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù);(Ⅱ)|a|概念中蘊(yùn)
2、含分類(lèi)討論思想。1三、 典型例題例 1. (數(shù)形結(jié)合思想)已知 a、b、c 在數(shù)軸上位置如圖:則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A )A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí),往往需要脫去絕對(duì)值
3、符號(hào),化成一般的有理數(shù)計(jì) 算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí),必須先確定絕對(duì)值符號(hào) C )A.是正數(shù) B.是負(fù)數(shù) C.是零 D.不能確定符號(hào)解:由題意,x、y、z 在數(shù)軸上的位置如圖所示:所以 x?z?y?z?x?y ?x?z?(y?z)?(x?y) ?0分析:數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看 似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z 三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系,為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖
4、然例題中沒(méi)有給出數(shù)軸,但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié) 合解決問(wèn)題的意識(shí)。例 3. (分類(lèi)討論的思想)已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的 3 倍,且在數(shù)軸 上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè),兩點(diǎn)之間的距離為 8,求這兩個(gè)數(shù);若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢?分析:從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息,“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩 側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反,即一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù),我們應(yīng)該用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解:設(shè)甲數(shù)為 x,乙
5、數(shù)為 y 由題意得:x?3y,并回答下列各題:(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎?答:____相等 .(2)若數(shù)軸上的點(diǎn) A 表示的數(shù)為 x,點(diǎn) B 表示的數(shù)為―1,則 A 與 B 兩點(diǎn)間的距離分析:點(diǎn) B 表示的數(shù)為―1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn) B 所在的位置。那么點(diǎn) A 呢?因?yàn)?x 可以表示任意有理數(shù),所以點(diǎn) A 可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么,如 何求出 A 與 B 兩點(diǎn)間的
6、距離呢?結(jié)合數(shù)軸,我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。3當(dāng) x-1 時(shí),距離為-x-1, 當(dāng)-1x0 時(shí),距離為 x+1, 當(dāng)x0,距離為 x+1 綜上,我們得到 A 與 B 兩點(diǎn)間的距離可以表示為 x?1(3)結(jié)合數(shù)軸求得 x?2?x?3 的最小值為 5 ,取得最小值時(shí) x 的取值 范圍為 -3≤x_≤2______. 分析:x?2 即 x 與 2 的差的絕對(duì)值,它可以表示數(shù)軸上 x 與 2
7、之間的距離。x?3?x?(?3)即 x 與-3 的差的絕對(duì)值,它也可以表示數(shù)軸上 x 與-3 之間的距 離。 如圖,x 在數(shù)軸上的位置有三種可能:圖 1 圖 2 圖 3圖 2 符合題意(4) 滿足 x?1?x?4?3 的 x 的取值范圍為 x-4 或 x-1分析: 同理 x?1 表示數(shù)軸上 x 與-1x?4 表示數(shù)軸上 x 與-
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