數(shù)學(xué)物理方程-第五章格林函數(shù)法

1、124第五章 格林函數(shù)法在第二章中利用分離變量法求出了矩形區(qū)域和圓域上位勢方程 Dirichlet 問 題的解.本章利用 Green 函數(shù)法求解一些平面或空間區(qū)域上位勢方程 Dirichlet 問題. 另外，也簡單介紹利用 Green 函數(shù)法求解一維熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程半無 界問題. 應(yīng)指出的是：Green 函數(shù)法不僅可用于求解一些偏微分方程邊值問題或初邊值問題，特別重要的是，它在偏微分方程理論研究中起著非常重要的作用. §5

2、 1 格林公式 格林公式 ?在研究 Laplace 方程或 Poisson 方程邊值問題時(shí)，要經(jīng)常利用格林（Green）公式，它是高等數(shù)學(xué)中高斯（Gauss）公式的直接推廣.設(shè) 為 中的區(qū)域， 充分光滑. 設(shè) 為非負(fù)整數(shù)，以下用 表示 ? 3 R ?? k ( ) k C ?在 上具有 階連續(xù)偏導(dǎo)的實(shí)函數(shù)全體， 表示在 上具有 階連續(xù)偏導(dǎo) ? k ( ) k C ? ? k的實(shí)函數(shù)全體. 如 ，表示 在 具有一 ? ?1 0 ( )

3、( ) ( ) ( ) u C C C C ? ? ? ? ? ? ? ( , , ) u x y z ?階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而在 上連續(xù). 另外，為書寫簡單起見，下面有時(shí)將函數(shù)的變量 ?略去.如將 簡記為 ， 簡記為 或 等等. ( , , ) P x y z P ( , , ) P x y z x??Px??x P設(shè) ， 和 ，則成立如下的 Gauss 公式 ( , , ) P x y z ( , , ) Q x y z ( , , )

4、R x y z 1( ) C ? ?(1.1) ( ) P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??或者(1.2) ( ) ( cos cos cos ) P Q R dV P Q R ds x y z ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??如果引入哈米爾頓（Hamilton）算子： ，并記 ( , , ) x y

5、 z??? ?? ???，則 Gauss 公式具有如下簡潔形式 ( , , ) F P Q R ? ?(1.3) ??? ?? ?? ? ? ?? ?ds n F dv F ? ? ?其中 為 的單位外法向量. (cos ,cos ,cos ) n ? ? ? ? ? ??注 1 Hamilton 算子是一個(gè)向量性算子，它作用于向量函數(shù) ( , , ) F P Q R ? ?時(shí)，其運(yùn)算定義為( , , ) ( , , ),F P

6、Q R x y zP Q Rx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??126則 . 在 Green 第二公式中取 ， . 由于在區(qū)域 內(nèi) G B ? ? ?? ?? 0 ( , ) v P P ? ? G ? ? G有 ，故有 0 ?? ?( )G Gu udV u ds n n ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??或者(1.9) ( ) ( )G Bu u udV u ds u

7、 ds n n n n ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ??在球面 上， B ?，021 ( ) 4 14P P rn r r r????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?因此(1.10) 21 ( , , ) 4 B Bu u ds ds u x y z n ? ? ? ??? ? ? ? ?? ??其中 . ( , , ) P x y z B ??同理可得(1.11

8、) 14 B Bu u ds ds n n ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ( , , ) u x y z n ? ? ? ? ? ? ?其中 . ( , , ) P x y z B ? ? ? ??將(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令 ，此時(shí)有 0 ? ? ?， ， 0 ( , , ) ( , , ) P x y z P ? ? ? ? ( , , ) 0 u x y z n ? ? ? ? ? ?

9、?并且區(qū)域 趨向于區(qū)域 ，因此可得 G ?， ( ) ( , , ) u udV u ds u n n ? ? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??即(1.12) ( , , ) ( ) u u u ds udV n n ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ???(1.12)稱為 Green 第三公式. 它表明函數(shù) 在 內(nèi)的值可用 內(nèi)的 值與邊界 u ? ? u ?上 及 的值