第五章

1、<p>　　《高等數(shù)學(xué)》課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與討論題</p><p>　　第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用</p><p>　　在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到具有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量取值為數(shù)量或向量的函數(shù)，就是多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量值函數(shù)，統(tǒng)稱為多元函數(shù)，本章研究多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念、理論和方法以及它們的應(yīng)用，包括多元函數(shù)的極限與連續(xù)性。導(dǎo)數(shù)(方向?qū)?shù)，偏導(dǎo)數(shù)與梯度)與全微分等基

2、本概念，多元函數(shù)微分法、極值問題以及多元函數(shù)微分學(xué)的一些幾何應(yīng)用。多元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念、理論和方法是一元函數(shù)相應(yīng)概念、理論和方法的推廣和發(fā)展，因此它們之間既有相同之處，又有許多本質(zhì)上的不同，同學(xué)們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候，既要注意它們的相同點(diǎn)和互相聯(lián)系，更要注意它們之間的不同點(diǎn)，善于將它們進(jìn)行比較，研究推廣到多元函數(shù)之后出現(xiàn)的新情況和新問題以及為什么會出現(xiàn)這些差異，有能力的同學(xué)還應(yīng)注意推廣的方法，以提高自己分析和解決問題的能力。&l

3、t;/p><p>　　本章教學(xué)實(shí)施方案(總計(jì)30學(xué)時(shí))</p><p>　　講 課：24學(xué)時(shí)分 1.n維Enclid空間中點(diǎn)集的初步知識（2學(xué)時(shí)）2.多元函數(shù)的極限與連續(xù)性(2學(xué)時(shí)) 3.多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(7學(xué)時(shí)) 4．多元函數(shù)的Taylor公式與極值問題(4學(xué)時(shí))；5．多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(3學(xué)時(shí))；6．多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(3學(xué)時(shí))</p><

4、p>　　7.空間曲線的曲率與撓率（3學(xué)時(shí)）。</p><p>　　習(xí)題課：4學(xué)時(shí) 1.多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分（2學(xué)時(shí)）；2.多元函數(shù)的極值與多元微分在幾何中的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）。</p><p>　　討論課：2學(xué)時(shí) 多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、梯度、全微分的概念及聯(lián)系；；多元函數(shù)在極值問題中與幾何方面的應(yīng)用。</p><p>　　第一節(jié)

5、 n維Enclid空間中點(diǎn)集的初步知識</p><p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　中點(diǎn)列的極限與點(diǎn)集的初步知識。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 理解n維歐氏空間中點(diǎn)列極限的概念及性質(zhì)，了解它們與一維空間中數(shù)列極限概念及性

6、質(zhì)的異同。</p><p>　　2. 知道中的開值(含集合的內(nèi)點(diǎn)與內(nèi)部)，閉集(含集合的聚點(diǎn)及導(dǎo)集)，區(qū)域有界閉集(即緊集)等常用的幾個(gè)概念并能識別一些常見集合的開閉性，連通性。</p><p>　　第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性</p><p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　多元函數(shù)的概

7、念(多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量函數(shù))；多元函數(shù)的極限(重點(diǎn)講二重極限)；多元函數(shù)的連續(xù)性(重點(diǎn)講二元連續(xù)函數(shù))及其性質(zhì)。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 理解多元函數(shù)有多元數(shù)量值函數(shù)與多元向量值函數(shù)之分。</p><p>　　2. 正確領(lǐng)會二重極限的概念，它與一元函數(shù)極限的異同，理解二重(重)極限定義中

8、為什么要求()(或)為A的一個(gè)聚點(diǎn)。</p><p>　　3. 正確理解利用二重極限定義說明二重極限不存在的方法，會求較簡單的二元函數(shù)的二重極限。</p><p>　　4. 正確理解二元(多元)函數(shù)的連續(xù)與間斷的概念。</p><p>　　5. 理解元向量值函數(shù)極限與連續(xù)性的定義。</p><p>　　6. 知道有界閉集上多元連續(xù)函數(shù)的有界性

9、，最大最小值定理及有界連通閉集上多元連續(xù)函數(shù)的介值定理。</p><p>　　第三節(jié) 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分</p><p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義；全微分的概念，函數(shù)可微的必要條件與充分條件，全微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用；梯度的概念，運(yùn)算法則及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系

10、；高階偏導(dǎo)數(shù);多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t(重點(diǎn)二元函數(shù))與全微分，一階全微分形式不變性，由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)的微分法，由方程組所確定的隱函數(shù)的微分法。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 正確理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義，理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，理解多元函數(shù)在一點(diǎn)處方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)都存在不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。&

11、lt;/p><p>　　2. 正確理解多元函數(shù)在一點(diǎn)處可微與全微分的定義。</p><p>　　3. 理解并熟記多元函數(shù)在一點(diǎn)處可微、方向?qū)?shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間的關(guān)系。</p><p>　　4. 熟悉利用偏導(dǎo)數(shù)求全微分的公式，會用全微分計(jì)算函數(shù)的近似值并能估計(jì)誤差。</p><p>　　5. 正確理解梯度的概念及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系，熟悉梯

12、度的運(yùn)算，并會求函數(shù)的梯度。</p><p>　　6. 熟悉多元函數(shù)(重點(diǎn)是二元函數(shù))的高階偏導(dǎo)數(shù)(重點(diǎn)為二階偏導(dǎo)數(shù))及混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件。</p><p>　　7. 正確掌握和使用鏈?zhǔn)椒▌t求多元復(fù)合函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)的方法，特別是會求由抽象函數(shù)的復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，要求同學(xué)們通過做一定數(shù)量的習(xí)題，體會掌握該方法的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。</p><

13、p>　　8. 理解一階微分形式不變性，并會用它求復(fù)合函數(shù)的一階全微分與偏導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　9. 知道由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)的存在定理，并能正確求出隱函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　10. 會求由方程組所確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　第四講 多元函數(shù)的Taylor公式與極值問題</p><p>&l

14、t;b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　多元函數(shù)的Taylor公式(重點(diǎn)是二階Taylor公式)，多元函數(shù)無約束極值的必要條件與充分條件，最大最小值問題，有約束極值的Lagrange乘數(shù)法。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1．熟悉多元函數(shù)的二階Taylor及其向量形式

15、，理解其中的一階項(xiàng)系數(shù)為函數(shù)的梯度，二階項(xiàng)為二次型，其對應(yīng)的矩陣為函數(shù)的Hessian矩陣。</p><p>　　2. 能正確使用極值的必要條件與充分條件求出極值點(diǎn)并判定其是極大值還是極小值。</p><p>　　3. 會求函數(shù)在有界閉域上的最大值與最小值，并利用它去解決實(shí)際應(yīng)用中的最大值與最小值問題。</p><p>　　4. 能正確建立在實(shí)際問題中有約束極值的目

16、標(biāo)函數(shù)與約束條件，并能使用Lagrange乘數(shù)法正確求解此類問題。</p><p>　　第五節(jié) 多元向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分</p><p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　向量值函數(shù)的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)，向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念，向量值函數(shù)在一點(diǎn)處的Jacobi矩陣與Jacobi行列式，向量值函數(shù)的微分運(yùn)算法則，向量

17、值函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 正確理解一元向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，知道多元向量值函數(shù)方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算方法。</p><p>　　2. 理解向量值函數(shù)可導(dǎo)性(可微性)，導(dǎo)數(shù)與微分的概念。</p><p>　　3. 熟悉向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的矩陣

18、表示、Jacobi矩陣以及向量值函數(shù)的Jacobi矩陣與Jacobi行列式的區(qū)別。會計(jì)算一元向量值函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　4. 熟悉向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則，包括鏈?zhǔn)椒▌t。</p><p>　　第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用</p><p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p&g

19、t;　　空間曲線的切線與法平面，弧長與弧微分，曲面的切平面與法線，空間曲線的Frenet標(biāo)架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 理解曲線的參數(shù)表示方法。</p><p>　　2. 熟悉曲線的切線與法平面方程的各種表達(dá)式，并會利用它們解決與之相關(guān)的一些幾何問題。</

20、p><p>　　3. 理解可求長曲線及其弧長的概念，熟悉弧長計(jì)算公式。</p><p>　　4. 理解弧微分與自然參數(shù)的概念，知道采用自然參數(shù)表示曲線有什么優(yōu)點(diǎn)。</p><p>　　5. 理解曲面的雙參數(shù)表示及曲面上的參數(shù)曲線網(wǎng)。</p><p>　　6. 熟悉曲面的切平面與法線方程的表達(dá)式，并會利用它們解決與之相關(guān)的一些幾何問題。</p

21、><p>　　7. 理解空間曲線上的活動坐標(biāo)架(即Frenet標(biāo)架)的構(gòu)成－－單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達(dá)式。</p><p>　　8. 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計(jì)算。</p><p>　　9. 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計(jì)算公式。</p><p>　　第七節(jié) 空間曲線的曲率與撓率</p>

22、<p><b>　　一、教學(xué)內(nèi)容與重點(diǎn)</b></p><p>　　空間曲線的Frenet標(biāo)架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識。</p><p><b>　　二、教學(xué)要求</b></p><p>　　1. 理解空間曲線上的活動坐標(biāo)架(即Frenet標(biāo)架)的構(gòu)成－－單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達(dá)

23、式。</p><p>　　2. 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計(jì)算。</p><p>　　3. 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計(jì)算公式。</p><p><b>　　討論題</b></p><p>　　1．在定義函數(shù)在點(diǎn)處的極限時(shí)，為什么要求點(diǎn)為的聚點(diǎn)？</p><p>　　2．，

24、，使得在函數(shù)的定義域內(nèi)滿足，且的一切均有成立，則。對嗎？</p><p>　　3．多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限有何異同點(diǎn)？根據(jù)極限的定義，可將一元函數(shù)極限中的哪些概念與命題推廣到多元函數(shù)中來？</p><p>　　4．如果引入極坐標(biāo)，且對每一個(gè)值都有，其中A是與無關(guān)的常數(shù)，那么是否必有？試研究例子。</p><p>　　5. 判定二重極限不存在的常用方法有哪些?&

25、lt;/p><p>　　6．如果函數(shù)在處連續(xù)，在處連續(xù)，那么二元函數(shù)在點(diǎn)處是否必連續(xù)？試研究函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性。</p><p>　　7．計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，能否先將代入中，再對求導(dǎo)？即是否成立？對于函數(shù)，你能很快求出嗎？</p><p>　　8．對于函數(shù)，問及是否存在？在點(diǎn)是否連續(xù)？在點(diǎn)是否可微？此例說明什么？</p><p>　　9.試討論

26、二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、沿任一方向的方向?qū)?shù)存在、可微及一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。</p><p>　　10．判斷一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)是否可微的常用方法是有哪些？試判斷下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否可微：</p><p><b>　　(1) ,在點(diǎn)；</b></p><p><b>　　(2) ，在點(diǎn)；</b></p&g

27、t;<p><b>　　(3)　在點(diǎn)。</b></p><p><b>　　(4)　，在點(diǎn)；</b></p><p>　　11．若，，，問公式、成立的條件（條件盡可能的弱）是什么？設(shè)函數(shù)</p><p><b>　　，又，，欲求，</b></p><p>　　下述

28、兩種求法的結(jié)果不一樣，這是為什么？</p><p>　　解法1：由于，于是由鏈導(dǎo)法則</p><p>　　解法2：把，代入中，得，故。 </p><p>　　12.若在區(qū)域上恒有能否斷言函數(shù)在上的函數(shù)值與無關(guān)？</p><p>　　13．設(shè)為過點(diǎn)的任一直線，如果當(dāng)點(diǎn)在上變動時(shí)，函數(shù)都在處取得極值，問能否斷定在處取得極值？試研究例子：，<