數據包絡分析dea課件

1、評價相對有效性的DEA模型 ——運籌學的新領域,技術效率,技術效率是指一個生產單元的生產過程達到該行業(yè)技術水平的程度。技術效率可以從投入與產出兩個角度來衡量測度：產出/投入的比值 簡單，但僅適用于單投入、單產出各投入、各產出賦予權重，加權產出/加權投入的比值權重的確定方法？固定的權重 通過數據本身獲得權重,衡量一個單位的績

2、效，通常是用投入產出比這個指標，當所有投入和產出指標均分別可折算成同一單位時（例如貨幣值），容易根據投入產出比大小對要評定的決策單元進行績效排序。,,,總況,參數方法,非參數方法,優(yōu)勢在于影響因素的分析；SFA具有統(tǒng)計特征，能研究傳統(tǒng)假設中的參數檢驗；采用面板數據時可以進行跨期研究,,隨機前沿方法,數據包絡分析,技術效率評價方法,無需考慮生產函數表達式及參數的分布形式，只需要考慮投入和產出的項目有哪些，且適用于擁有多投入和多產

3、出的研究對象單周期計算，適用于小樣本把所有偏離效率邊界的情況歸為無效率，造成效率程度的過高或過低；不能分析技術效率的影響因素；不具有統(tǒng)計特征，不能進行統(tǒng)計檢驗,基于DEA的技術效率影響因素的分析：DEA兩階段模型：DEA+TobitDEA三階段模型： DEA+SFA+DEA SFA：排除環(huán)境變量和隨機誤差對效率評價的影響，調整投入產出指標DEA四階段模型： DEA+Tobit+DEATobit 擬合投

4、入變量的松弛量與環(huán)境變量的關系,DEA方法簡介,數據包絡分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由著名的運籌學家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(庫伯), 及E.Rhodes (羅茲) 于1978年提出，用于評價相同部門間的相對有效性（也被稱為DEA有效）。 該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU, Decision Making Units）的輸入或者輸出不變，借助于

5、數學規(guī)劃和統(tǒng)計數據確定相對有效的生產前沿面，將各個決策單元投影到DEA的生產前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價它們的相對有效性。,數據包絡分析是一種對具有相同類型決策單元進行績效評價的方法。 DMU：效率的測度對象，任何具有可測量的投入、產出的部門、單位或個人，但必須具有可比性這里相同類型是指這類決策單元具有相同性質的投入和產出，如醫(yī)院投入的是醫(yī)護人員、面積、床位數、醫(yī)療設備和藥品等，產出是門診病人人次、住院病

6、人人日、代培實習的醫(yī)護人員數等。,數據包絡分析是運籌學的一個新的研究領域.查恩斯和庫伯等人的第一個應用DEA的十分成功的案例,就是評價為弱智兒童開設公立學校項目的效果.在評估中,輸出包括“自尊”等無形的指標;輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無論哪種指標都有無法與市場價格相比較,也難以輕易定出適當的權重(權系數),這也是DEA的優(yōu)點之一.,查恩斯和庫伯等人的第一個模型被命名為C2R模型.從生產函數的角度看,這一模型是用來研究具有多個

7、輸入,特別是具有多個輸出的“生產部門”同時為“規(guī)模有效”與“技術有效”的十分理想且卓有成效的方法.,9,1985年查恩斯,庫伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來研究生產部門間的“技術有效性”.,1987年查恩斯,庫伯,魏權齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數據包絡模型——C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取

8、可以體現決策者的“偏好”.靈活地應用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進行分類或排隊.,DEA方法以相對效率概念為基礎，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評價方法，應用數學規(guī)劃模型計算比較決策單元之間的相對效率，對評價對象做出評價，它能充分考慮對于決策單元本身最優(yōu)的投入產出方案，因而能夠更理想地反映評價對象自身的信息和特點；同時對于評價復雜系統(tǒng)的多投入多產出分析具有獨到之處。,DEA是對其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）

9、的投入規(guī)模、技術有效性作出評價，即對各同類型的企業(yè)投入一定數量的資金、勞動力等資源后，其產出的效益（經濟效益和社會效益）作一個相對有效性評價。,DEA方法的特點：適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優(yōu)勢DEA方法并不直接對數據進行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標與投入指標值及產出指標值的量綱選取無關，應用DEA方法建立模型前無須對數據進行無量綱化處理（當然也可以）,無須任何權重假設，

10、而以決策單元輸入輸出的實際數據求得最優(yōu)權重，排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性DEA方法假定每個輸入都關聯到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯系，但不必確定這種關系的顯示表達式DEA可以用來研究多種方案之間的相對有效性(例如投資項目的評價);研究在決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何(例如建立新廠后,新廠相對于已有的一些工廠是否為有效).,DEA方法的特點：,,DEA的應用：經濟效率評價中的應用區(qū)域經濟研究

11、中的應用資源配置中的應用技術進步與可持續(xù)發(fā)展中的應用績效評價中的應用物流與供應鏈中的應用銀行評價中的應用風險評估中的應用,DEA方法的工作步驟（1）明確問題階段需要明確評價的目標，并圍繞評價的目標對評價的對象進行分析確定各種因素的性質（可變或不變的、可控或不可控）考慮因素間可能的定性與定量關系確定決策單元的邊界，對決策單元的結構、層次進行分析對結果進行定性的分析和預測（2）建模計算階段建立評價指標體系選擇

12、決策單元,收集和整理的數據具有可獲得性選擇適當的DEA模型進行計算（3）分析結果階段對結果進行比較和分析，找出無效單元無效的原因，并提供進一步改進的途徑根據定性的分析和預測的結果來考察評價結果的合理性,效率值與生產前沿面的關系,無效性：經濟學中也稱其為強可處置性，表明在原來生產活動基礎上增加投入或減少產出進行生產總是可能的,除了凸性和無效性，生產可能集T還滿足錐性和最小性公理。錐性公理：對任意的

13、 及數 均有也就是說，若以投入量x的k倍進行輸入，那么輸出量也以原來產出y的k倍產出是可能的最小性公理：生產可能集是滿足凸性、無效性、錐性公理的所有幾何的交集。滿足以上條件的集合T是唯一確定的。,例 有4個銀行儲蓄所，每月完成10000筆人民幣的存款、取款業(yè)務，但其投入情況不同，見下表，試分析這4個儲蓄所的績效。,,,解：為了進行分析，以職員數為橫坐標，營業(yè)面積為縱坐標將4個儲蓄所的投入

14、標記于下圖中：,,,,,,,,,,生產前沿面,生產可能集,DEA有效,,折線 和折線右上方所有點組成的集合為生產可能集。,即這些點多對應的職員數和營業(yè)面積所組成的儲蓄所均有能力完成每月10000筆的存款業(yè)務。,由虛線和 形成的數據包絡線稱生產前沿面。,即不可能由這條包絡線的左下方對應的職員數和營業(yè)面積組成的儲蓄所能完成每月10000筆的存款業(yè)務。,處于包絡線（或生產前沿生產面）上的決策單元稱

15、為DEA有效（或Pareto有效）。即對 三個決策單元來說，為完成每月10000筆的存款業(yè)務，如要減少職員，必須增加營業(yè)面積，如果要減少營業(yè)面積，必須增加職員數，不可能同時既減少職員又減少營業(yè)面積。,、 DEA基本原理和模型,基本概念CCR模式 ?投入導向 ?產出導向比率式、原問題、對偶問題BCC模式 ?投入導向 ?產出導向DEA執(zhí)行程序生產效率(整體技術效率

16、)、(純)技術效率 規(guī)模效率案例討論,DEA基本原理和模型,投入產出數據表,各字母定義如下：,xij-------- 第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量 .yrj-------- 第j個決策單元對第r種類型輸出的產出總量 .vi -------- 對第i種類型輸入的一種度量，權重系數ur -------- 對第r種類型輸出的一種度量，權重系數i ----------1,2,…,m

17、r ----------1,2,…,sj ----------1,2,…,n,CCR模型—概念,理想假設 生產過程屬固定規(guī)模報酬，即是當投入量以等比例增加時，產出亦應等比增加。CCR模式—投入導向 以投入之角度探討效率，既在目前之產出水準下，比較投入資源之使用情形，稱為投入導向效率CCR模式—產出導向 以產出之角度探討效率，在相同投入水準下，比較產出的達成狀況，稱為產出導向效率。,（1）投入導向CCR模型的規(guī)劃式假設當

18、前要測量的DMU記為DMUk,附加條件：總可以選擇適當的權重 ，使得所有DMU采用上述權重得出的效率值,其效率=產出的加權組合/投入的加權組合,對第k個決策單元進行效率評價，一般說來， 越大表明DMUk能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。 這樣我們如果對DMUk進行評價，看DMUk在這n個DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當盡可能的變化權重時， 的最大值究竟是多少。,以第k個

19、決策單元的效率指數為目標，以所有決策單元的效率指數為約束，就構造了如下的CCR（C2R）模型：,,CCR比率模式之概念,由上式可知，DEA事實上是求產出與投入之比值，較特殊的是 、 、 、 為已知數，而模式即在各所有DMU的效率值都不超過1的條件下，找尋最有利的加權值(即 、 )使得被評價DMU的效率值最大化。,因此，模型確定的權重是對被評價對象最有利的。從這個意義上講，CCR模型是對被評價DMU的無效率狀況作出的一種

20、保守的估計。,為什么說CCR模型是基于規(guī)模收益不變的呢？假設一項生產技術的規(guī)模收益不變，則在技術效率保持不變的條件下，如果投入變?yōu)樵瓉淼膖倍，其產出也會變?yōu)樵瓉淼膖倍。,上述規(guī)劃模型是一個分式（非線性）規(guī)劃，并且存在無窮多個解。約束條件等價于使用Charnes－Cooper變化，令： 可變成如下的線性規(guī)劃模型P：,利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決

21、策單元而言的。 對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達，而線性規(guī)劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經濟意義上作深入分析,（D/）,可以看做是一個虛擬的DMU，其投入不高于 決策單元j0的投入，產出不低于決策單元j0的產出。如果決策單元j0處于無效率的狀態(tài)，則最優(yōu)解構建的虛擬決策單元 就是被評價DMU的目標值,規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D/：,,模型的目標函數最優(yōu)解為 ， 表示在當前技術

22、水平下，被評價DMU在不降低產出水平的條件下，其投入能夠縮減的最大限度。 越小，表示投入可以縮減的幅度越大，效率越低。 表明DMU處于技術有效狀態(tài)。（2）投入導向CCR模型圖解,（3）產出導向的CCR模型其規(guī)劃式其對偶式該對偶模型是以投入既定的條件下，各項產出可以等比例增長的程度來對無效率的狀況進行測量。,模型的最優(yōu)解為 ，在當前技術水平下，被評價DMU在不增加投入的條件下，其產出能

23、夠增加的最大比例為 越大表示效率越低。由于 ，所以一般采取 表示效率值（4）產出導向CCR模型圖解,52,某集團公司下屬有甲、乙、丙三個企業(yè)，收集到反映其投入（固定資產年凈值x1、流動資金x2、職工人數x3）和產出（總產值y1、利稅總額y2）的有關數據如下表,實例,評價這幾個企業(yè)的生產效率。,53,由于投入指標和產出指標都不止一個，故通常采用加權的辦法來綜合投入指標值和產出指標值。,對于第一個企業(yè)

24、，產出綜合值為60u1+12u2，投入綜合值為4v1+15v2+8v3，,我們定義第一個企業(yè)的生產效率為：總產出與總投入的比,即,假定u1 ,u2 ,v1 ,v2 ,v3分別為產出與投入的權重系數,54,類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產效率分別為：,我們限定所有的生產效率hj值不超過1,即 ,這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產率最高，或者說這一生產系統(tǒng)是相對有效的，若hk&l

25、t;1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產效率還有待于提高，或者說這一生產系統(tǒng)還不是有效的。,55,即,因此，建立第一個企業(yè)的生產效率最高的優(yōu)化模型如下：,這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。,56,,,,,分式規(guī)劃化為線性規(guī)劃,57,,,對偶規(guī)劃,,,投入,產出,,CRS的假設適合于所有廠商均以最優(yōu)規(guī)模運營的情況，然而由于不完全競爭、政府規(guī)制、財務約束等因素，實際生產單元并沒有處于最優(yōu)規(guī)模的生產狀態(tài)1984年Ba

26、nker、Charnes和Cooper在Management Science發(fā)表了“Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis”,提出了BCC模型，用于解釋規(guī)模報酬可變（VRS）的情況CCR模型得出的技術效率包含了規(guī)模效率（Scale Efficiencies , SE）的成分，而使用VRS

27、設定允許沒有SE效應而對TE進行計算，稱之為“純技術效率”。,基于規(guī)模報酬可變的BCC模型,投入（產出）導向規(guī)劃式：作用：使投影點的生產規(guī)模與被評價DMU的生產規(guī)模處于同一水平凸性約束條件基本上確保無效廠商只與類似規(guī)模的“基準”廠商比較。也就是，DEA前沿上的投影點是觀測廠商的凸組合。在CRS模型中沒有這個凸性約束。因此，在CRS模型中，被評價廠商可能與比它大(小)得多的參考廠商進行比較。而權數的總和將小于(或

28、大于)1。,,投入導向BCC模型圖解：,產出導向BCC模型圖解：,為了討論和計算應用方便，進一步引入松弛變量s＋和剩余變量s－，將上面的不等式約束（可看作是“松”的約束）變?yōu)榈仁郊s束，可變成：,強有效、弱有效與松弛變量問題,“松”的約束是松弛變量存在的基礎,DEA模型的前沿是由分段函數構成的，而分段函數在空間坐標系中會出現與坐標軸平行的情況，這是松弛問題產生的根源。,求解松弛變量的方法 以投入導向徑向模型為例,是一個常量，表

29、示非阿基米德無窮小，可設置為0.00001 數值設置過大時會造成對偶模型無可行解。,為消除 產生的誤差，可采用兩階段求解投入和產出松弛變量。第一階段求出第二階段，求解如下規(guī)劃式：,規(guī)模效率BCC模型假定生產過程屬于可變規(guī)模報酬（ VRS ），既是當投入量以等比例增加時，產出不一定等比增加，有可能規(guī)模遞增或規(guī)模遞減BCC模型既可以求解VRS生產技術下的技術效率，同時也為求解規(guī)模效率提供了方法通過比較計算CR

30、S效率值和VRS效率值就可以分離出規(guī)模效率SE=TE/PTE,通過DEA模型可以判斷被評價DMU的效率狀態(tài)：有效或無效DEA有效可分為：強有效：生產處于這樣的一種狀態(tài)：任何一項投入的數量都無法減少，除非減少產出或增加另外一種投入的數量；任何一種產出的數量都無法增加，除非增加投入的數量或減少另外一種產出的數量 判斷標準：弱有效：無法等比例減少各項投入的數量，除非減少產出的數量；無法等比例增加各項產出的數量，除非

31、增加投入的數量可以減少某一項或幾項投入數量或增加某一項或幾項產出數量 判斷標準： 無需考慮是否存在 松弛問題 決策單元不是DEA有效，經濟活動既不是技術效率最佳，也不是規(guī)模最佳,DEA有效性的定義,“技術有效”：若生產狀態(tài)（x, y）滿足 ,則稱生產狀態(tài)（x, y）是“技術有效”的（也即輸出相對輸入而言已達到最大）此時，點（x, y）位于生產函數的曲面上

32、技術有效：相對于最優(yōu)生產效率水平的目前投入要素的浪費情況“邊際報酬遞減規(guī)律”：生產函數的一階導數表現為先增后減的規(guī)律（或函數先為凸，后為凹）．所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）規(guī)模有效：按照最優(yōu)生產效率水平所能獲得的最大產出情況,,DEA有效的經濟含義,技術有效還是規(guī)模有效？,DMU在CCR模型之下為DEA有效，DMU對應的生

33、產狀態(tài)（x0,y0）既為技術有效，也為規(guī)模有效．DMU在BCC模型之下為DEA有效，DMU對應的生產狀態(tài)（x0,y0）為技術有效的。,,,,λj使各個有效點連接起來，形成有效前沿面；非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸，形成包絡面。在實際運用中，對松弛變量的研究是有意義的，因為它是一種純的過剩量(s-)或不足量(s+)，θ則表示DMU離有效前沿面或包絡面的一種徑向優(yōu)化量或“距離” 其中

34、 是決策單元j0對應的線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則 為DMUj0對應的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影，它是DEA有效的,CCR模型中變量的經濟含義,比例改進與松弛改進的關系無效DMU在前沿上的投影點代表其目標值目標值=原始值+改進值（投入改進值為負值） =原始值+比例改進值+松弛改進值,DMU數量、模型導向的選擇（1）DMU數量的選擇如果DMU的數量比投入產出指標的數量要

35、少時，容易出現大部分甚至全部DMU均有效的結果（？超效率模型）一般來說， （2）投入和產出指標的選擇大致滿足：DEA不要求投入產出指標之間不存在高度相關性（共線性）盡量不要使用率指標,模型導向的選擇投入導向：在不減少產出的條件下，要達到技術有效各項投入應該減少的程度把減少投入作為無效率單位提高效率的主要途徑（投入不足時不

36、宜選擇投入導向）產出導向：不增加投入的條件下，要達到技術有效各項產出應該增加的程度把增加產出作為無效率單位提高效率的主要途徑（需求不足時不宜選擇投入導向）非導向：從投入和產出兩個方面進行測算,利用投入導向與產出導向的DEA模型將會估計出完全一樣的前沿，因此，二者均可以識別相同的有效廠商。只有當測算無效廠商的效率時，兩種方法的測量結果才會出現差別。只有在規(guī)模收益不變情況下，這兩種測量方法所得到的結果才會相等。,80,若干省份

37、相對生產率水平比較,以各省全部獨立核算工業(yè)企業(yè)為對象,,DEA應用案例,81,評價江西省相對生產率的DEA模型,5.4 DEA 模型,82,評價江西省相對生產率的DEA模型,5.4 DEA 模型,83,,湖南省的DEA模型如下,計算機求解結果為:,84,若干省份相對生產率水平比較結 果,5.4 DEA 模型,1.對生產水平的相對有效性分析 --梁敏. 邊馥萍.生產水平的相對有效性分析.

38、 數量經濟技術經濟研究[J]2003.9：91-94,利用含有非阿基米德無窮小ε的CCR模型，對北京地區(qū)建立如下模型：,同樣建立其他三個直轄市的模型，求得的解如下：,對于非DEA有效的DMU，可將其投影到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU變成有效的DMU,以天津為例，為得到同樣的總產值和財政收入，輸入可減少到：,對經濟效益的評價 --侯風華，張在旭，徐青.DEA方法在石油企業(yè)經濟效益評價中的應用.

39、 系統(tǒng)工程理論方法應用[J]2000.3：252-257 設研究對象為11個油田,將這11個油田簡記為DMUj (j=1,2,…,11) 輸入指標的選取：投資總額 ；職工總數； 銷售成本；固定資產原值 輸出指標的選?。涸彤a量(含天然氣)；利稅總額；

40、 新增探明儲量(含天然氣),CCR模型的解,CCR模型的解,根據上述的DEA有效性的判別定理,可知:(1)達到DEA有效的DMU分別為： DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11(2)非DEA有效的DMU分別為： DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10(3)非DEA有效的DMU進行投影計算結果如后,投影分