常微分方程的解法，建模，matlab算法

1、 -293- 第十五章 第十五章 常微分方程的解法 常微分方程的解法 建立微分方程只是解決問(wèn)題的第一步， 通常需要求出方程的解來(lái)說(shuō)明實(shí)際現(xiàn)象， 并 加以檢驗(yàn)。 如果能得到解析形式的解固然是便于分析和應(yīng)用的， 但是我們知道， 只有線 性常系數(shù)微分方程， 并且自由項(xiàng)是某些特殊類型的函數(shù)時(shí)， 才可以得到這樣的解， 而絕 大多數(shù)變系數(shù)方程、非線性方程都是所謂“解不出來(lái)”的，即使看起來(lái)非常簡(jiǎn)單的方程如 2 2 x y dxdy + = 。于是

2、對(duì)于用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)，數(shù)值解法就是一個(gè)十分重要的手段。 §1 常微分方程的離散化 下面主要討論一階常微分方程的初值問(wèn)題，其一般形式是 ? ?? ??=≤ ≤ =0 ) () , (y a yb x a y x f dxdy（1）在下面的討論中，我們總假定函數(shù) ) , ( y x f 連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數(shù) L ，使得 | | | ) , ( ) , ( | y y L

3、 y x f y x f ? ≤ ?這樣，由常微分方程理論知，初值問(wèn)題(1)的解必定存在唯一。 所謂數(shù)值解法，就是求問(wèn)題（1）的解 ) (x y 在若干點(diǎn) b x x x x a N = < < < < = L 2 1 0處的近似值 ) , , 2 , 1 ( N n yn L = 的方法， ) , , 2 , 1 ( N n yn L = 稱為問(wèn)題（1）的數(shù)值解，n n n x x h ? = +1 稱為由 n

4、 x 到 1 + n x 的步長(zhǎng)。今后如無(wú)特別說(shuō)明，我們總?cè)〔介L(zhǎng)為常量h 。 建立數(shù)值解法，首先要將微分方程離散化，一般采用以下幾種方法： （i）用差商近似導(dǎo)數(shù) 若用向前差商 hx y x y n n ) ( ) ( 1 ? + 代替 ) ( ' n x y 代入（1）中的微分方程，則得 ) 1 , , 1 , 0 ( )) ( , ( ) ( ) ( 1 ? = ≈ ? + N n x y x f hx y x yn n n

5、 n L化簡(jiǎn)得 )) ( , ( ) ( ) ( 1 n n n n x y x hf x y x y + ≈ +如果用 ) ( n x y 的近似值 n y 代入上式右端，所得結(jié)果作為 ) ( 1 + n x y 的近似值，記為 1 + n y ，則有 ) 1 , , 1 , 0 ( ) , ( 1 ? = + = + N n y x hf y y n n n n L（2）這樣，問(wèn)題（1）的近似解可通過(guò)求解下述問(wèn)題 ? ? ?=?

6、= + = + ) () 1 , , 1 , 0 ( ) , (01 a y yN n y x hf y y n n n n L（3）得到，按式（3）由初值 0 y 可逐次算出 N y y y , , , 2 1 L 。式（3）是個(gè)離散化的問(wèn)題，稱為差分方程初值問(wèn)題。 -295- 局部截?cái)嗾`差指的是， 按 （7） 式計(jì)算由 n x 到 1 + n x 這一步的計(jì)算值 1 + n y 與精確值 ) ( 1 + n x y之差 1 1) (

7、 + + ? n n y x y 。為了估計(jì)它，由 Taylor 展開得到的精確值 ) ( 1 + n x y 是 ) ( ) ( ' ' 2 ) ( ' ) ( ) ( 3 21 h O x y h x hy x y x y n n n n + + + = +（8）（7） 、 （8）兩式相減（注意到 ) , ( ' y x f y = ）得 ) ( ) ( ) ( ' ' 2 ) ( 2

8、 3 21 1 h O h O x y h y x y n n n ≈ + = ? + +（9）即局部截?cái)嗾`差是 2 h 階的，而數(shù)值算法的精度定義為： 若一種算法的局部截?cái)嗾`差為 ) ( 1 + p h O ，則稱該算法具有 p 階精度 階精度。 顯然 p 越大，方法的精度越高。式（9）說(shuō)明，向前 Euler 方法是一階方法，因此它的精度不高。 §3 改進(jìn)的 Euler 方法 3.1 梯形公式 利用數(shù)值積分方法將微分

9、方程離散化時(shí)，若用梯形公式計(jì)算式(4)中之右端積分， 即 ))] ( , ( )) ( , ( [ 2 )) ( , ( 1 11+ + + ≈ ∫+n n n nxx x y x f x y x f h dx x y x fnn并用 1 , + n n y y 代替 ) ( ), ( 1 + n n x y x y ，則得計(jì)算公式 )] , ( ) , ( [ 2 1 1 1 + + + + + = n n n n n n y x f

10、 y x f h y y這就是求解初值問(wèn)題（1）的梯形公式。 直觀上容易看出， 用梯形公式計(jì)算數(shù)值積分要比矩形公式好。 梯形公式為二階方法。梯形公式也是隱式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式為 ? ?? ??= + + =+ =+ + + ++) , 2 , 1 , 0 ()], , ( ) , ( [ 2) , () ( 1 1 ) 1 ( 1) 0 ( 1L k y x f y x f h y yy x hf y yk n n

11、n n n k nn n n n（10） 由于函數(shù) ) , ( y x f 關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，容易看出 | | 2 | | ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ? + + + + + ? ≤ ? k n k n k n k n y y hL y y其中 L 為 Lipschitz 常數(shù)。因此，當(dāng) 1 2 0 < < hL 時(shí)，迭代收斂。但這樣做計(jì)算量較大。如果實(shí)際