微分方程建模案例2_第1頁
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文檔簡介

1、為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用,人類必須保持并控制生態(tài)平衡,甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型,以簡略分析一下這方面的問題。,種群的數(shù)量本應取離散值,但由于種群數(shù)量一般較大,為建立微分方程模型,可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。,Malthus模型與Logistic模型,模型1 馬爾薩斯(Malthus)模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn),人口凈增長率r基本上是一常數(shù),

2、(r=b-d,b為出生率,d為死亡率), 既:,馬爾薩斯模型的一個顯著特點:種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。,Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理,到總數(shù)增大時,生物群體的各成員之間由于有限的生存空間,有限的自然資源及食物等原因,就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù),它應當與人口數(shù)量有關。,模型2 Logistic模型,人口凈增長率應當與人口數(shù)量有關,即: r=r

3、(N),r(N)是未知函數(shù),但根據(jù)實際背景,它無法用擬合方法來求 。,為了得出一個有實際意義的模型,我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時,總是采用盡可能簡單的方法。,r(N)最簡單的形式是常數(shù),此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項(競爭項),(3.9)式還有另一解釋,由于空間和資源都是有限的,不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體,當種群數(shù)量過多時,由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾

4、病增多等原因,出生率將降低而死亡率卻會提高。設環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K(近似地將K看成常數(shù)),N表示當前的種群數(shù)量,K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量,(3.9)指出,種群增長率與兩者的乘積成正比,正好符合統(tǒng)計規(guī)律,得到了實驗結果的支持,這就是(3.9)也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。,圖3-5,對(3.9)分離變量:,兩邊積分并整理得:,令N(0)=N0,求得:,N(t)的圖形請看圖3.5,大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種

5、群的增長,效果還是相當不錯的。例如,高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管,他發(fā)現(xiàn),開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長,此后增長速度不斷減慢,到第五天達到最大量375個,實驗數(shù)據(jù)與r=2.309,a=0.006157,N(0)=5的Logistic曲線: 幾乎完全吻合,見圖3.6。,圖3-6,Malthus模型和Logistic模型的總結,Malthus模型和Logistic

6、模型均為對微分方程(3.7)所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數(shù),(r被稱為該種群的內稟增長率)。后一模型則假設環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群,從而引入了一個競爭項。,用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗,看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好,否則就得找出不相符的主要原因,對模型進行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的,但它

7、們也可用來研究其他實際問題,只要這些實際問題的數(shù)學模型有相同的微分方程即可。,例5 贗品的鑒定,在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后,荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術品的公司中發(fā)現(xiàn)線索,于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫(H·A·Vanmeegren),此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾(Jan Veermeer)的油畫“捉奸”等賣給納粹德國

8、戈林的中間人??墒?,范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱:他從未把“捉奸”賣給戈林,而且他還說,這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯(17世紀荷蘭畫家)的油畫,都是他自己的作品,這件事在當時震驚了全世界,為了證明自己是一個偽造者,他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”,當這項工作接近完成時,范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪,因此他拒絕將這幅畫變陳,以免

9、留下罪證。,為了審理這一案件,法庭組織了一個由著名化學家、物理學家和藝術史學家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經有過別的畫。此外,他們分析了油彩中的拌料(色粉),檢驗油畫中有沒有歷經歲月的跡象??茖W家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡,還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù),范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪,被判刑一年??墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩

10、個多月就因心臟病發(fā)作,于1947年12月30日死去。,然而,事情到此并未結束,許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上,在此之前這幅畫已經被文物鑒定家認定為真跡,并以17萬美元的高價被倫布蘭特學會買下。專家小組對于懷疑者的回答是:由于范·梅格倫曾因他在藝術界中沒有地位而十分懊惱,他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”,來證明他高于三流畫家。當創(chuàng)造出這樣的杰作后,他的志氣消退了。而且,當他看到這幅“

11、在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后,他在炮制后來的偽制品時就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意,他們要求完全科學地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年,直到1967年,才被卡內基·梅倫(Carnegie-Mellon)大學的科學家們 基本上解決。,原理與模型,測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關鍵是本世紀初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。,放射性現(xiàn)象:著名物理學家盧瑟夫在本世紀初發(fā)現(xiàn),某些“放射性”元素

12、的原子是不穩(wěn)定的,并且在已知的一段時間內,有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子,且物質的放射性與所存在的物質的原子數(shù)成正比。,用N(t)表示時間t時存在的原子數(shù),則:,用λ來計算半衰期T:,其解為:,與本問題相關的其他知識:,(1)藝術家們應用白鉛作為顏料之一,已達兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210,白鉛是從鉛礦中提煉出來的,而鉛又屬于鈾系,其演變簡圖如下(刪去了許多中間環(huán)節(jié)),(3)從鉛礦中提煉鉛時,鉛210與鉛206一起

13、被作為鉛留下,而其余物質則有90—95%被留在礦渣里,因而打破了原有的放射性平衡。,鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206(一種非放射

14、性物質)注:時間均為半衰期,(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面,鈾系中的各種放射性物質均在不斷衰減,而另一方面,鈾又不斷地衰減,補充著其后繼元素。各種放射性物質(除鈾以外)在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料,地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7(一般含量極微)。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大,但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。,簡化假定:,本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫,為了

15、使模型盡可能簡單,可作如下假設:,(1)由于鐳的半衰期為1600年,經過300年左右,應用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%,故可以假定,每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。,建模:,(1)記提煉白鉛的時刻為t=0,當時每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0,由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的,故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同??梢酝扑愠霎敃r每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個。,以上確定了每克白鉛中

16、鉛分解數(shù)的上界,若畫上的鉛分解數(shù)大于該值,說明畫是贗品;但若是小于不能斷定畫一定是真品。,(2)設t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t),而鐳的單位時間分解數(shù)為r(常數(shù)),則y(t)滿足微分方程:,由此解得:,故:,畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出,從而可求出λy0的近似值,并利用(1)判斷這樣的分解數(shù)是否合理。,Carnegie-Mellon大學的科學家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了

17、鑒定,測得數(shù)據(jù)如下(見表3-1)。,例6 新產品的推廣,經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它,并由此析出一些有用的結果以指導生產呢?以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。,設需求量有一個上界,并記此上界為K,記t時刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t),則尚未使用的人數(shù)大致為K-x(t),于是由統(tǒng)計籌算律:,記比例系數(shù)為k,則x(t)滿足:,此方程即Logistic模型,解為:,對

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