高中數(shù)學(xué)--離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

1、1．(2012·全國新課標(biāo)高考)某個(gè)部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為________．,2．(2011·湖北高考)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ

2、<2)＝(　　)A．0.6　　　　　　　B．0.4C．0.3 D．0.2,【答案】　C,【答案】　D,【答案】　D,5．(2010·湖北高考)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為__________．【答案】　0.4,1．均值(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為,2．方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為,1．隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是

3、怎樣的？提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差.,2．參數(shù)μ，σ在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么？提示：μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.,已知X的分布列為,【思路點(diǎn)撥】　先求E(X)，再根據(jù)E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3求出結(jié)果【答案】　A．,【思路點(diǎn)撥】　根據(jù)獨(dú)立事件求出概率，然后按照隨機(jī)變量分布列的期望公

4、式求解．,【歸納提升】　(1)求離散型隨機(jī)變量的期望關(guān)鍵是寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用公式計(jì)算．(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考題之一，常根據(jù)期望和方差的性質(zhì)求解.,【思路點(diǎn)撥】　利用期望與方差的性質(zhì)求解．,某市出租車的起步價(jià)為6元，行駛路程不超過3 km時(shí)，租車費(fèi)為6元，若行駛路程超過3 km，則按每超出1 km(不足1 km也按1 km計(jì)程)收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．設(shè)出租車一次行駛的路程數(shù)X(按整km數(shù)計(jì)算，不足1

5、 km的自動(dòng)計(jì)為1 km)是一個(gè)隨機(jī)變量，則其收費(fèi)也是一個(gè)隨機(jī)變量．已知一個(gè)司機(jī)在某一天每次出車都超過了3 km，且一次的總路程數(shù)可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它們出現(xiàn)的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.(1)求這一天中一次行駛路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)求這一天中一次所收出租車費(fèi)Y的均值和方差．,【思路點(diǎn)撥】　(1)利用分布列的性質(zhì)求a，求X的分布列，

6、求E(X)，D(X)．(2)利用期望方差的性質(zhì)求解．,∴E(X)＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋28×0.18＋30×0.12＝25(km)．D(X)＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y＝6＋3(

7、X－3)＝3X－3(X＞3，X∈N)，∴E(Y)＝E(3X－3)＝3E(X)－3＝3×25－3＝72(元)，D(Y)＝D(3X－3)＝32D(X)＝86.76.,【歸納提升】　求離散型隨機(jī)變量的方差的方法步驟：1．求Eξ(具體方法見題型二)；2．代入方差公式求Dξ.,【思路點(diǎn)撥】　利用正態(tài)分布解析式中的μ，σ的實(shí)際意義解決．【答案】　B,設(shè)X～N(1,22)，試求(1)P(－1<X≤3)；(2)P(

8、3<X≤5)；(3)P(X≥5)．【思路點(diǎn)撥】　將所求概率轉(zhuǎn)化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解．【嘗試解答】　∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，,【歸納提升】　求服從

9、正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上.,●考情全揭密●從近兩年的高考來看，主要在解答題中考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值的概念，通過設(shè)置密切的貼近現(xiàn)實(shí)的生活情境考查概率、排列組合的應(yīng)用意識(shí)．預(yù)測2014年高考仍將以考查有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念為主，另外注意利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問題．,●命題新動(dòng)向●期望與方差的實(shí)際應(yīng)用

10、期望與方差、標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，解決離散型隨機(jī)變量的期望、方差有關(guān)應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真分析題意，準(zhǔn)確判斷概率分布的類型，從而求出各種隨機(jī)變量的相應(yīng)概率，進(jìn)而求出問題的解．,(2012·福建高考)受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下：,將頻率視為概率，解答下列問題

11、：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。,X2的分布列為,【解】　(1)依題意，X的可能取值為1,0，－1，X的分布列為