2.41離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)(基礎(chǔ)

1、2.41離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；2.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1.定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量?的概

2、率分布為?1x2x…ix…P1p2p…ip…則稱??E?11px?22px…??nnpx…為?的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：（1）均值（期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量?的概率分布中，令?1p?2p…np?，則有?1p?2p…npn1??，??E?1(x?2x…nxn1)??，所以?的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值。（3）隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本

3、身具有相同的單位2性質(zhì)：①()EEE???????；②若ba????(a、b是常數(shù))，?是隨機(jī)變量，則?也是隨機(jī)變量，有baEbaE?????)(；baEbaE?????)(的推導(dǎo)過(guò)程如下：：?的分布列為?1x2x…ix…?bax?1bax?2…iaxb?…P1P2P…iP…于是??E??11)(pbax??22)(pbax…()iiaxbp???…＝?11(pxa?22px…iixp??…)??1(pb?2p…ip??…)＝baE??

4、∴baEbaE?????)(。要點(diǎn)二要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)1x，2x，…，nx，它們的平均值為x，那么各數(shù)據(jù)與x的差的平方的平均數(shù)[12nS?21)(xx?＋22)(xx?＋…＋])(2xxn?叫做這組數(shù)據(jù)的方差。2.2.離散型隨機(jī)變量的方差：隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量?的概率分布為?1x2x…ix…P1p2p…ip…

5、則稱?D＝121)(pEx???＋222)(pEx???＋…＋2()nixEp???＋…稱為隨機(jī)變量?的方差，式中的?E是隨機(jī)變量?的期望?D的算術(shù)平方根?D叫做隨機(jī)變量?的標(biāo)準(zhǔn)差，記作??要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：⑴隨機(jī)變量?的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；⑵隨機(jī)變量?的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）⑶標(biāo)準(zhǔn)差

6、與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛。3.3.期望和方差的關(guān)系：期望和方差的關(guān)系：22()()DEE?????4.4.方差的性質(zhì)：方差的性質(zhì)：若ba????(a、b是常數(shù))，?是隨機(jī)變量，則?也是隨機(jī)變量，2()DDabaD??????；要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量?服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，則期望Ep??方差(1).Dpp???又7x＋0.8＋2.7

7、＋10y＝8.9，化簡(jiǎn)得7x＋10y＝5.4.②由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4.【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，舉一反三：舉一反三：【變式1】（2015春金臺(tái)區(qū)期末）設(shè)ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，則p的值為（）ABCD12131423【答案】A∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9，∴18p=9，∴，12p?故選：A?！咀兪?】隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ024P0.40.3

8、0.3，則E(5ξ＋4)等于()A13B11C2.2D2.3【答案】A由已知得：E(ξ)＝00.4＋20.3＋40.3＝1.8，∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝51.8＋4＝13.【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤(rùn)是ξ200300400500P0.200.350.

9、300.15A.706元B690元C754元D720元【答案】A節(jié)日期間預(yù)售的量：Eξ＝2000.2＋3000.35＋4000.3＋5000.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，則期望的利潤(rùn)：η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－5002.5＝3.4ξ－450，∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4340－450＝706.∴期望利潤(rùn)為706元【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量?的可能取值為1，2，3，4，且()Pkakb????（1234k?

10、），3E??，則ab??；【答案】0.1；由分布列的概率和為1，有()(2)(3)(4)1abababab????????，又3E??，即1()2(2)3(3)4(4)3abababab????????????，解得0.1a?，0b?，故0.1ab??。例2.2.某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響（1

11、）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X≥0）的概率【思路點(diǎn)撥】本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問(wèn)題，因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答對(duì)0道題得－300分，答對(duì)1道題得100－200=－100分，答對(duì)2道題得2100－100=100分，答對(duì)3道題得300分；（2）總分不為負(fù)分包括100分和300分兩種情況【解析】（1）X的可能取值為－300，－100，1

12、00，300P（X=－300）=0.23=0.008。P（X=－100）=13C0.220.8=0.096，P（X=100）=23C0.20.82=0.384，P（X=300）=0.83=0.512所以X的概率分布為X－300－100100300P0.0080.0960.3840.512∴E（X）=(－300)0.008(－100)0.0961000.3843000.512=180（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（X≥0）=P（X

13、=100）P（X=300）=0.3840.512=0.896【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表舉一反三：舉一反三：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分?的期望奎屯王新敞新疆【答案】因?yàn)?.0)0(7.0)1(??????PP，所以7.03.007.01??????E奎屯王新敞新疆【變式2】一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)