定積分典型例題

1、定積分典型例題定積分典型例題定積分典型例題例1求分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子乘入和式中各項于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即例2_________解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周與軸所圍成的圖形的面積故解法2本題也可直接用換元法求解令（），則例3比較

2、，，分析對于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無法求出積分值時則只能利用定積分的性質(zhì)通過比較被積函數(shù)之間的大小來確定積分值的大小解法1在上，有而令，則當時，，在上單調(diào)遞增，從而，可知在上，有又，從而有解法2在上，有由泰勒中值定理得注意到因此例4估計定積分的值分析要估計定積分的值關鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值解設因為令，求得駐點而故從而所以.例5設，在上連續(xù)，且，求解由于在上連續(xù)，則在上有最大值和最小

3、值由知，又，則由于，故例6求為自然數(shù)分析這類問題如果先求積分然后再求極限往往很困難，解決此類問題的常用方法是洛必達法則解注此處利用等價無窮小替換和多次應用洛必達法則例15試求正數(shù)與，使等式成立分析易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達法則解，由此可知必有，得又由，得即，為所求例16設，，則當時，是的（）A等價無窮小B同階但非等價的無窮小C高階無窮小D低階無窮小解法1由于故是同階但非等價的無窮小選B解法2將展成的冪級數(shù)，再逐項積分，得到，則

4、例17證明若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有證法1令，當時，，則故單調(diào)增加即，又，所以，其中從而證畢證法2由于單調(diào)增加，有，從而即故例18計算分析被積函數(shù)含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分解＝＝＝注在使用牛頓－萊布尼茲公式時應保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無界.例19計算分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實際是分段函數(shù)解例20設是連續(xù)函數(shù)，且，則分析本題只需要注意到定積