共面向量定理

1、3．1.2　共面向量定理,課前自主學案,1．平面上有____和____的量叫做向量，方向____且模____的向量稱為相等向量．2．向量可以進行加減和數(shù)乘運算，向量加法滿足____律和____律．,大小,方向,相同,相等,交換,結(jié)合,a∥α,共面向量,c＝xa＋yb,空間的兩非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb，因空間中任意兩向量都共面，a，b共面未必有a∥b，則不一定有a＝λb.,課堂互動講練,證

2、明三個向量共面，只需利用共面向量定理即可．,【名師點評】　如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.在判斷空間的三個向量共面時，注意“兩個向量a、b不共線”的要求．,利用共面向量的推論是證明四點共面的依據(jù)．,【名師點評】　要證四點共面，可先作出從同一點出發(fā)的三個向量，由向量共面推知點共面，應(yīng)注意待定系數(shù)法的應(yīng)用．,證明線面平行，其實質(zhì)還是證明三向量共面．,(本題滿分14分)如圖

3、，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點．求證：EF∥平面SAD.,【名師點評】　向量共面的條件是證明線面平行的一種重要、常用的方法，其基本方法是將直線與平面平行問題轉(zhuǎn)化為直線上的向量與平面內(nèi)兩個不共線向量共面的問題，同時要說明該直線不在平面內(nèi)．,1．空間中任意兩個向量共面，三個向量可能共面，也可能不共面，共面向量定理給出了三個向量共面的充要條件. 2．共面向量定理給出了判斷

4、線面平行的方法，以及判定四點共面的方法．,3．判斷直線與平面平行，通常利用判定定理，證明平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，證明過程中線線平行有時需通過添加輔助線得到，因此方法不好用．而用共面向量定理來證明線面平行，只需考慮一個向量用平面內(nèi)兩不共線向量來表示，可以避免添加輔助線，從而把不易掌握的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題．4．判斷四點共面時，通常構(gòu)造有公共起點的三個向量，用其中的兩個向量線性表示另一個向量，而得到向量共面，進而得到四

5、點共面．,3．1.3　空間向量基本定理,課前自主學案,1．平面向量基本定理：如果兩個向量a、b不共線，那么對平面內(nèi)任一向量p，存在_____的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝_______.2．平面內(nèi)的任意一個向量p都可以用_____________________來表示(平面向量基本定理)．,惟一,xa＋yb,兩個不共線的向量a，b,1．空間向量基本定理：如果三個向量e1、e2、e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的_______

6、____________，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．如果三個向量e1、e2、e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1、e2、e3____表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個____，e1、e2、e3叫做______．,有序?qū)崝?shù)組(x，y，z),線性,基底,基向量,正交基底,惟一,空間的基底是惟一的嗎？提示：由空間向量基本定理可知，任意三個不共面的向量都可以組成空間的一個基底，所以空間的基底有無數(shù)個，因此不惟一

7、．,課堂互動講練,構(gòu)成空間一個基底的充要條件是三個向量不共面．因此要證明三個向量不共面，通常用反證法．,【名師點評】　判斷給出的某一向量組中的三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或借助一些常見的幾何圖形幫助我們進行判斷．,自我挑戰(zhàn)1　若{a，b，c}是空間的一個基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個基底．,∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為

8、空間的一個基底．,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將需要表示的向量用與其相關(guān)聯(lián)的其他向量表示，充分利用三角形法則或平行四邊形法則，直至轉(zhuǎn)化為只用基向量表示．,【名師點評】　選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功．要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量，再對照目標，將不符合目標要求的向量當作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標要求為止．這就是

9、向量的分解．空間向量分解定理表明，用空間三個不共面的向量組{a，b，c}可以表示出任意一個向量，而且a，b，c的系數(shù)是惟一的．,1．空間向量基本定理指明：(1)空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；(2)基底中的三個向量e1、e2、e3都不是0；(3)一個基底是由不共面的三個向量構(gòu)成，一個基向量是指基底中的某個向量；(4)空間任一向量可用空間不共面的三個向量惟一線性表示．,2．單位正交基底是基底的特例，它是建立空間直角坐標系