高一數(shù)學(xué)241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課件人教版必修4

1、2.4 平面向量的數(shù)量積,2.4.1 平面向量數(shù)量積的 物理背景及其含義,問題提出,,,1.向量的模和夾角分別是什么概念？當(dāng)兩個(gè)向量的夾角分別為0°，90°，180°時(shí)，這兩個(gè)向量的位置關(guān)系如何？,2.任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加、減運(yùn)算，同時(shí)兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，并且向量的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律.由于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，我們自然會(huì)提出，任意兩個(gè)向量

2、是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？對此，我們從理論上進(jìn)行相應(yīng)分析.,平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,探究（一）:平面向量數(shù)量積的背景與含義,W＝︱F︱︱s︱cosθ,思考2：功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與s “數(shù)量積”.一般地，對于非零向量a與b的數(shù)量積是指什么？,思考3：對于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即 a&

3、#183;b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？,思考4：特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？,0·a=0,思考5：對于兩個(gè)非零向量a與b，其數(shù)量積a·b何時(shí)為正數(shù)？何時(shí)為負(fù)數(shù)？何時(shí)為零？,當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，a·b＞0；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，a·b＜0；當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝0.,a&#

4、183;b=︱a|︱b︱cosθ,思考6：對于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，那么︱a︱cosθ的幾何意義如何？,思考7：對于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么該投影一定是正數(shù)嗎？向量b在a方向上的投影是什么？,不一定；︱b︱cosθ.,思考8：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義如何？,數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ

5、的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積，,探究（二）：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì),思考1：設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？,,a⊥b a·b＝0,思考2：當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b等于什么？當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b等于什么？特別地，a·a等于什么？,,當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝︱a︱︱b︱；當(dāng)a與b反向時(shí)，a

6、3;b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ .,思考3：︱a·b︱與︱a︱︱b︱的大小關(guān)系如何？為什么？,,︱a·b︱≤︱a︱︱b︱,思考4：a·b與b·a是什么關(guān)系？為什么？,,a·b＝b·a,思考5：對于實(shí)數(shù)λ，(λa)·b有意義嗎？它可以轉(zhuǎn)化為哪些運(yùn)算？,(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(

7、λb),思考6：對于向量a，b，c，(a＋b)·c有意義嗎？它與a·c＋b·c相等嗎？為什么？,,,思考7：對于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意義嗎？(a·b)·c與a·(b·c)相等嗎？為什么？,(a·b)·c≠a·(b·c),思考8：對于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么

8、 b＝c嗎？,,,思考9：對于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？為什么？,思考10：對于向量a，b，如何求它們的夾角θ？,,理論遷移,例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a與b的夾角為120°，求a·b.,－10,例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b).,－72,例3 已知︱a︱

9、＝3，︱b︱＝4，且a與b不共線.求當(dāng)k為何值時(shí)，向量a＋kb與 a－kb互相垂直？,,小結(jié)作業(yè),1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時(shí)還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量.,2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與向量的運(yùn)算性質(zhì)不完全一致，應(yīng)用時(shí)不要似是而非.,,3. 利用︱a︱＝ 可以求向量的模，在字符運(yùn)算中是一種常用方法.