自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)-自考核心考點(diǎn)筆記-自考重點(diǎn)資料

1、1《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》劉吉佑、徐誠浩劉吉佑、徐誠浩主編，主編，武漢大學(xué)出版社新版武漢大學(xué)出版社新版第一章行列式1.1行列式的定義1.2行列式行(列)展開1.3行列式的性質(zhì)與計算1.3克拉默法則第二章矩陣2.1線性方程組與矩陣的定義2.2矩陣運(yùn)算2.3分陣的逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換與初等方陣2.6矩陣的秩2.7矩陣與線性方程組第三章向量空間3.1n維向量概念及其線性運(yùn)算3.2線性相關(guān)與線性無關(guān)3.3

2、向量組的秩3.4向量空間第四章線性方程組4.1齊次線性方程組4.2非齊次線性方程組第五章特征值與特征向量5.1特征值與特征向量5.2方陣的相似變換5.3向量內(nèi)積和正交矩陣5.4實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第六章實(shí)二次型6.1實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形6.2正這二次型和正定矩陣……(中間部分略中間部分略)完整版完整版1515頁請頁請——QQQQ：12731145681273114568索取索取第一部分第一部分行列式行列式本章概述本章概述行列式在線性代數(shù)

3、的考試中占很大的比例。從考試大綱來看。雖然只占13%左右。但在其他章。的試題中都有必須用到行列式計算的內(nèi)容。故這部分試題在試卷中所占比例遠(yuǎn)大于13%。1.11.1行列式的定義行列式的定義1.1.11.1.1二階行列式與三階行列式的定義二階行列式與三階行列式的定義一、二元一次方程組和二階行列式一、二元一次方程組和二階行列式例1.求二元一次方程組的解。解：應(yīng)用消元法得當(dāng)時。得同理得定義稱為二階行列式。稱為二階行列式的值。記為。于是由此可知。

4、若。則二元一次方程組的解可表示為：例2二階行列式的結(jié)果是一個數(shù)。我們稱它為該二階行列式的值。二、三元一次方程組和三階行列式考慮三元一次方程組希望適當(dāng)選擇。使得當(dāng)后將消去。得一元一次方程若，能解出其中要滿足為解出。在（6），（7）的兩邊都除以得這是以為未知數(shù)的二元一次方程組。定義1.1.1在三階行列式中，稱于是原方程組的解為類似地得這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。例3計算例4（1）（2）例5當(dāng)x取何值時，？為將此結(jié)果推

5、廣到n元一次方程組。需先將二階、三階行列式推廣到n階行列式。1.1.21.1.2階行列式的定義階行列式的定義定義1.1.2當(dāng)n時，一階行列式就是一個數(shù)。當(dāng)時，稱為n階行列式。定義（其所在的位置可記為的余子式的代數(shù)余子式。定義為該n階行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代數(shù)余子式都與第j列元素?zé)o關(guān)；類似地，第i行元素的余子式和代數(shù)余子式都與第i行元素?zé)o關(guān)。n階行列式為一個數(shù)。例6求出行列式第三列各元素的代數(shù)余子式。例7（上三角行

6、列式）1.21.2行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開定理1.2.1（行列式按行（列）展開定理）例1下三角行列式＝主對角線元素的乘積。例2計算行列式例3求n階行列式小結(jié)小結(jié)1.行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式的定義。2.二階行列式的定義。3.階行列式的定義。即。4.行列式按行（列）展開的定理和應(yīng)用這個定理將行列式降階的方法。1.31.3行列式的性質(zhì)及計算行列式的性質(zhì)及計算1.3.11.3.1行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)給定行列式將它的行

7、列互換所得的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。性質(zhì)1轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D的某一行（列）的每個元素所得的新行列式等于kD。推論1若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論2若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0?！?中間部分略中間部分略)完整版完整版1515頁請頁請——QQQQ：12731145681273114568索取索取性質(zhì)3行列式的兩行（列）互換，行列式

8、的值改變符號。以二階為例設(shè)推論3若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。證設(shè)中，第i行與第j行元素完全相同，則所以，D=0。性質(zhì)4若行列式某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。31.行列式按一行(一列)展開的定理；2.行列式的性質(zhì)；3.行列式中任一行(列)與另一行(列)的代數(shù)余子式乘積的和=0；4.克拉默法則5.n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式=0。重點(diǎn)練習(xí)內(nèi)容1.行列式中元素的余

9、子式和代數(shù)余子式的計算；2.行列式的計算及重點(diǎn)例題（1）二、三階行列式的計算；方法：利用行列式的性質(zhì)降階。（2）各行元素之和為常數(shù)的情況(重點(diǎn)例題：1.3節(jié)中例5及其擴(kuò)展)；（3）特殊的高階行列式。所以例7矩陣必不正定。6.2.36.2.3二次型的分類二次型的分類定義6.2.3設(shè)Ax是n元二次型，其中A是實(shí)對稱矩陣。二次型可分成以下五類:（1）如果對于任意的非零實(shí)列向量x，都有，則稱該二次型正定，稱此二次型的矩陣A為正定矩陣。（2）如果

10、對于任意的實(shí)列向量x，都有，則稱該二次型半正定，稱此二次型的矩陣A為半正定矩陣。（3）如果對于任意的非零實(shí)列向量x，都有，則稱該二次型負(fù)定，稱此二次型的矩陣A為負(fù)定矩陣。（4）如果對于任意的實(shí)列向量x，都有，則稱該二次型半負(fù)定，稱此二次型的矩陣A為半負(fù)定矩陣。（5）既不是半正定，也不是半負(fù)定的實(shí)二次型稱為不定二次型，相應(yīng)的實(shí)對稱矩陣稱為不定矩陣。例5（1）是半正定的。因?yàn)閷θ我?，總有，故該二次型半正定。?）是負(fù)定二次型。因?yàn)槭钦ǖ模?/p>

11、故對任意非零的x，都有，所以是負(fù)定二次型。（3）是半負(fù)定二次型。（4）是不定二次型。因?yàn)閷Χ鴮τ谝话愣涡腿绾闻袛嗨?，半正定，?fù)定，半負(fù)定，還是不定，有以下結(jié)論:如果n元二次型的正慣性指數(shù)=n，則它是正定二次型；如果n元二次型的負(fù)慣性指數(shù)=0，則它是半正定二次型；如果n元二次型的負(fù)慣性指數(shù)=n，則它是負(fù)定二次型；如果n元二次型的正慣性指數(shù)=0，則它是半負(fù)定二次型；如果n元二次型的正慣性指數(shù)≥1且負(fù)慣性指數(shù)≥1，則它是不定二次型。例