容斥原理題庫(kù)教師版

1、2010年暑假.三年級(jí).第3講.重疊問題教師版page0of13教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)說明知識(shí)點(diǎn)說明一、一、兩量重疊問題兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：(其中符

2、號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者ABABAB??????“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，?簡(jiǎn)稱容斥原理圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：ABC，即陰影面積圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記AB?ABC為：，即陰影面積AB?包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：AB、AB?

3、第一步：分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包AB、AB?AB、含”進(jìn)來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)CAB??數(shù))二、三量重疊問題二、三量重疊問題類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是ABCA?B?C??A類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、B?BC?AC?AB類的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表

4、示為：圖示如下：CABCABCABBCACABC??????????????7777容斥原理容斥原理1先包含——AB?重疊部分計(jì)算了次，多加了次；AB?212再排除——ABAB???把多加了次的重疊部分減去1AB?2010年暑假.三年級(jí).第3講.重疊問題教師版page2of13小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文281216??B興趣小組的人，有(人)291217??方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣

5、小組的有：(人)16121745???方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)???小組都參加的人，即：(人)28291245???【鞏固】【鞏固】芳草地小學(xué)四年級(jí)有芳草地小學(xué)四年級(jí)有人學(xué)鋼琴，人學(xué)鋼琴，人學(xué)畫畫，人學(xué)畫畫，人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)584337畫畫的分別有多少人？畫畫的分別有多少人？【解析】【解析】解包含與排除

6、題，畫圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義如圖，圓表示學(xué)畫畫的人，圓表示學(xué)鋼琴的人，表示既學(xué)鋼琴又ABC學(xué)畫畫的人，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：A(人)，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：(人)43376??B583721??【例【例3】一個(gè)班一個(gè)班人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是

7、完成數(shù)人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)48學(xué)作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有學(xué)作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有人；做人；做37完數(shù)學(xué)作業(yè)的有完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？人這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？42【解析】【解析】不妨用下圖來表示：一一一一一一一一一一一一一一一一一一DCBA線段表示

8、全班人數(shù)，線段表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，線段表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人ABACDB數(shù)，重疊部分則表示語文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù)DC根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有人，即做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人，即3737AC?4242DB?(人)①374279ACDB????????(人)②48AB?????①式減②式，就有(人)794831DC???所以，數(shù)學(xué)、語文作業(yè)都做完的有人31【鞏固】【鞏固】四年級(jí)科技活動(dòng)組共有四年級(jí)科技活動(dòng)組共有人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型

9、的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老63師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有4234人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【解析】【解析】因，，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)由于每個(gè)同學(xué)都

10、至少完成了一項(xiàng)423476??7663?活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))全組人數(shù)，即(完成了兩項(xiàng)4234???76?活動(dòng)的人數(shù))63?由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為(人)也可畫圖分析766313??【鞏固】【鞏固】實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有人，能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的人，兩種都能表演的有7人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？

11、人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【解析】【解析】根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：(人)1018721???【鞏固】【鞏固】某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，有人，有人兩項(xiàng)比人兩項(xiàng)比322818賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？【解析】【解析】如圖，圓表示參加象棋比賽的人，