容斥原理中的極值問題

1、容斥原理中的極值問題作者：楚楚包含的容斥原理總數(shù)=│A││B││C││A∩B││A∩C││B∩C││A∩B∩C│都不滿足的例1：某專業(yè)有學生50人，現(xiàn)開設有甲、乙、丙三門必修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人？【浙江2009】A.1人B.2人C.3人D.4人解析：

2、50=40363028262420x，x尾數(shù)2，選B不包含的容斥原理總數(shù)=│A││B││C│—只滿足兩個條件的—2只滿足三個條件的一個都不滿足的例1：為豐富職工業(yè)余文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項活動。在該單位的所有職工中，參加合唱活動有189人，參加象棋活動有152人，參加羽毛球活動有135人，參加兩種活動的有130人，參加三種活動的有69人，不參加任何一種活動的有44人。該單位的職工人數(shù)為（）？【廣東2014】A.233

3、B.252C.321D.520解析：總人數(shù)=189152135130（692）44，尾數(shù)2，選B總數(shù)分類加和公式總數(shù)=只參加一種的人數(shù)只參加兩種的人數(shù)只參加三種的人數(shù)1種都不參加的人數(shù)；例1：五年級一班共有55個學生，在暑假期間都參加了特長培訓班，35人參加書法班，28人參加美術班，31人參加舞蹈班，其中以上三種特長培訓班都參加的有6人，則有（）人只參加了一種特長培訓班。【陜西2013】A.45B.33C.29D.22解析：根據(jù)三容斥之

4、不包含的容斥原理，設只參加兩種的有x人，可得352831x（62）=55，解得x=27人；只參加一種=總人數(shù)只參加兩種參加三種=55276=22，選D及格率極值分析問題至少問題例1：某中學初二年級共有620名學生參加期中考試，其中語文及格的有580名，數(shù)學及格的有575名，英語及格的有604名，以上三門功課都及格的至少有多少名同學？【河北2010】A.575B.558C.532D.519解析：總及格門數(shù)=580575604=1759，給

5、620名同學每人分兩門，還剩下1759解法一：參加跳遠的50人、參加跳高的40人、參加賽跑的30人；設只參加兩項的x人、參加三項的y人，可得504030x（2y）=100，整理得x2y=20，求xy的最小值，xy=20y、y最大取10，所以xy最少取10，選C解法二：參加跳遠的50人、參加跳高的40人、參加賽跑的30人，參賽的總人次=504030=120，分給每個人一次，剩下120100=20次，要想使不止參加一個的人數(shù)最少，把這20次

6、分給10個人、每人再分兩次，相當于這10個人三次都參加，選B例8：某校初三年級100人參加體育會考，會考設有長跑、跳遠、投擲3項，通過不止一項的可獲中考加分獎勵，每人至少都通過了一項。其中未通過長跑的有51人，未通過跳遠的有61人，未通過投擲的有71人。則至少有多少人獲得加分？A.8B.9C.12D.17解析：通過長跑的49人、通過跳遠的39人、通過投擲的29人，總通過人次數(shù)=493929=117次，先分給100人每人一次，多出17次；

7、要想加分的人最少，讓通過的人盡可能三門全通過，多出的17次可以再分給8個人每人兩次（這8個人三門全通過）、剩下的1次分給一個人（這個人通過兩門），所以至少有81=9人加分，選B例9：共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？【國家2008】A.30B.55C.70D.74解析：總答對的題數(shù)=80928

8、67874=410，先分給每個人兩道答對的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個人、每人再對3道，則這70人五道全對，選C例10：共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人、92人、98人、90人和50人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？A.68B.70C.80D.85解析：總答對的題數(shù)=809298905

9、0=410，先分給每個人兩道答對的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個人、每人再對3道，則這70人五道全對，但是題中第五題只有50人全對，所以不成立；剩下的210題最多能分給第五題答對的50人、每人再對3道，還剩下210503=60道，這60道分給30個人、每人再對兩道，通過考試的人數(shù)=5030=80人，選C例11：共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－

10、5題分別有75人、92人、98人、95人和50人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？A.70B.80C.85D.90解析：總答對的題數(shù)=7592989550=410，先分給每個人兩道答對的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個人、每人再對3道，則這70人五道全對，但是題中第五題只有50人全對，所以不成立；剩下的210題分給第五題答對的50人每