高中數(shù)學--空間向量之法向量求法及應用方法

1、1高中數(shù)學空間向量之高中數(shù)學空間向量之平面法向量的求法及其應用平面法向量的求法及其應用一、一、平面的法向量平面的法向量1、定義、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無???a?a??數(shù)條。2、平面法向量的求法、平面法向量的求法方法一(內積法):在給定的空間直角坐標系中，設平面的法向量[或，或?(1)nxy??(1)nxz??(1)nyz??]，在平面內任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關于的

2、方程組，?ab??n???0na????0nb????xy解此方程組即可得到。n?方法二：任何一個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是的一次方程。zyxzyx，稱為平面的一般方程。其法向量若平面與3個坐0????DCzByAx)0(不同時為CBA)(CBAn??標軸的交點為如圖所示則平面方程為:稱此方程為平面的截距)00()00()00(321cPbPaP1???czbyax式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。方法

3、三(外積法):設為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等于，（θ為???ba?sin||||??ba兩者交角，且），而與皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由????0的方向轉為的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向。???ba????????abba:)()(222111則設zyxbzyxa????????????21yyba21zz21xx?21zz21xx????21yy（注：1、二階行列式:；2、適合右手

4、定則。）caM?cbaddb??例1、已知，，)121()012(?????ba試求（1）：（2）：???ba.???abKey:(1))521(?????ba)521()2(?????ab例2、如圖11在棱長為2的正方體中，1111ABCDABCD?求平面AEF的一個法向量。n?圖11C1CByFADxA1D1zB1E)221(:??????AEAFnkey法向量3②在直線a、b上各取一點A、B，作向量；?AB③求向量在上的射影d，則

5、異面直線a、b間的距離為?AB?n其中||||?????nnABdbBaAbnan??????（2）、點到平面的距離:方法指導方法指導：如圖25若點B為平面α外一點，點A為平面α內任一點，平面的法向量為，則點P到n平面α的距離公式為||||?????nnABd（3）、直線與平面間的距離:方法指導方法指導：如圖26直線與平面之間的距離：a?，其中。是平面的法向量||ABndn????????aBA???n??（4）、平面與平面間的距離:方

6、法指導方法指導：如圖27兩平行平面之間的距離：??，其中。是平面、的法向量。||||?????nnABdAB????n???3、證明證明（1）、證明線面垂直：在圖28中向是平面的法向量，是直線a的方向向?m??a量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。???am?（2）、證明線面平行：在圖29中向是平面的法向量，是直?m??a線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。0????am（3）、證明面面垂直：在圖210中，是