貴州省貴陽市花溪二中八年級數學競賽講座第二十三講 代數證明

1、第1頁（共5頁）第二十三講第二十三講代數證明代數證明代數證明主要是指證明代數中的一些相等關系或不等關系在初中階段，要證的等式一般可分為恒等式的證明和條件等式的證明恒等式的證明常用的方法有：(1)由繁到簡，從一邊推向另一邊；(2)從左右兩邊人手，相向推進；(3)作差或作商證明，即證明：左邊一右邊=0，)0(1??右邊右邊左邊條件等式的證明實質是有根據、有目的的代數式恒等變換，證明的關鍵是尋找條件與結論的聯系，既要注意已知條件的變換，使之有

2、利于應用；又要考慮求證的需求情況，使之有利于與已知條件的溝通代數證明不同于幾何證明，幾何證明有直觀的圖形為依托，而代數證明卻取決于代數式化簡求值變形技巧、方法和思想的熟練運用例題求解例題求解【例1】(1)求證：aazayaxaazzaayyaaxx3111222????????????（2）求證：)1)(1)(1(4)1()1()1(222ababbbaaababbbaa??????????思路點撥思路點撥(1)從較復雜的等式左邊推向等

3、式右邊，注意左邊每個分式分子與分母的聯系；(2)等式兩邊都較復雜，對左、右兩邊都作變形或作差比較注如果一個等式的字母在條件允許范圍內的任意一個值，使得等式總能成立，那么這個等式叫做恒等式把一個式子變形為與原式恒等的另一種不同形式的式子，這種變形叫做恒等變形，形變值不變是恒等變形的特點代數式的化簡求值、代數證明其實質都是作恒等變形，分解、換元、引參、配方、分組、拆分，取倒數等是恒等變形常用的技巧與方法【例2】已知bayx???，且2222

4、bayx???求證：2001200120012001bayx???(黃岡市競賽題)思路點撥思路點撥從完全平方公式入手，推出x、y與a、b間關系，尋找證題的突破口【例3】有18支足球隊進行單循環(huán)賽，每個參賽隊同其他各隊進行一場比賽，假設比賽的結果沒有平局，如果用ia和ib，分別表示第i(I=1，2，3…18)支球隊在整個賽程中勝與負的局數第3頁（共5頁）5設x、y、z為有理數，且(y—z)2(x－y)2(z—x)2=(yz－2x)2(zx

5、－2y)2(xy—2z)2，求證：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222???????zyxxyzxyz(重慶市競賽題)6已知2222)32()(14cbacba?????，求證：a：b：c=1：2：37已知11111??????zyxzyx，求證：x、y、z中至少有一個為18若zyxtyxtzxtzytzyx???????????，記zyxtyxtzxtzytzyxA????????????，證明：A是一個整數(匈牙利競賽題)9

6、已知0??????bacacbcba，求證：0)()()(222??????bacacbcba10完成同一件工作，甲單獨做所需時間為乙、丙兩人合做所需時間的p倍，乙單獨做所需時間為甲、丙兩人合做所需時間的q倍；丙單獨做所需時間為甲、乙兩人合做所需時間的x倍，求證：12????pqqpx(天津市競賽題)11設a、b、c均為正數，且1???cba，證明：9111???cba12如果正數a、b、c滿足bca2??，求證：accbba?????