2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、考研數(shù)學(xué)知識點高等數(shù)學(xué)1一.函數(shù)的概念函數(shù)的概念1用變上、下限積分表示的函數(shù)用變上、下限積分表示的函數(shù)(1)()dttfyx∫=0,其中()tf連續(xù),則()xfdxdy=(2)()()()dttfyxx∫=21??,其中()x1?,()x2?可導(dǎo),()tf連續(xù),則()[]()()[]()xxfxxfdxdy1122????′?′=2兩個無窮小的比較兩個無窮小的比較設(shè)()0lim=xf,()0lim=xg,且()()lxgxf=lim(1

2、)0=l,稱()xf是比()xg高階的無窮小,記以()()[]xgxf0=,稱()xg是比()xf低階的無窮小。(2)0≠l,稱()xf與()xg是同階無窮小。(3)1=l,稱()xf與()xg是等價無窮小,記以()()xgxf~3常見的等價無窮小常見的等價無窮小當(dāng)0→x時xx~sin,xx~tan,xx~arcsin,xx~arctan221~cos1xx?,xex~1?,()xx~1ln,()xxαα~11?二求極限的方法二求極限的

3、方法1利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則2兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在(1)若nnxx≤1(n為正整數(shù))又mxn≥(n為正整數(shù)),則Axnn=∞→lim存在,且mA≥(2)若nnxx≥1(n為正整數(shù))又Mxn≤(n為正整數(shù)),則Axnn=∞→lim存在,且MA≤準(zhǔn)則2(夾逼定理)設(shè)()()()xhxfxg≤≤若()Axg=lim,()Axh=lim,則()Axf=lim3兩個重要公式兩

4、個重要公式公式11sinlim0=→xxx公式2ennn=??????∞→11lim;euuu=??????∞→11lim;()evvv=→101lim4用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換5用泰勒公式(比用等價無窮小更深刻)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)用泰勒公式(比用等價無窮小更深刻)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)當(dāng)0→x時,()nnxxnxxxe0!!212=Λ()()()1212530!121!5!3sin??=nnnxnx

5、xxxxΛ()()()nnnxnxxxx22420!21!4!21cos???=Λ()()()nnnxnxxxxx01321ln132???=Λ()()1212153012153arctan???=nnnxnxxxxxΛ()()()()[]()nnxxnnxxx0!11!21112????=αααααααΛΛ6洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則法則1(00型)設(shè)(1)()0lim=xf,()0lim=xg(2)x變化過程中,()xf′,()xg′皆存

6、在(3)()()Axgxf=′′lim(或∞)則()()Axgxf=lim(或∞)(注:如果()()xgxf′′lim不存在且不是無窮大量情形,則不能得出()()xgxflim不存在且不是無窮大量情形)法則2(∞∞型)設(shè)(1)()∞=xflim,()∞=xglim(2)x變化過程中,()xf′,()xg′皆存在考研數(shù)學(xué)知識點高等數(shù)學(xué)3()xxee=′dxedexx=()211arcsinxx?=′dxxxd211arcsin?=()21

7、1arccosxx??=′dxxxd211arccos??=()211arctanxx=′dxxxd211arctan=()211cotxxarc?=′dxxxdarc211cot?=()[]22221lnaxaxx=′()dxaxaxxd22221ln=()[]22221lnaxaxx?=′?()dxaxaxxd22221ln?=?2四則運算法則四則運算法則()()[]()()xgxfxgxf′′=′()()[]()()()()xgx

8、fxgxfxgxf′′=′?()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf2′?′=′??????()()0≠xg3復(fù)合函數(shù)運算法則復(fù)合函數(shù)運算法則設(shè)()ufy=,()xu?=,如果()x?在x處可導(dǎo),()uf在對應(yīng)點u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)()[]xfy?=在x處可導(dǎo),且有()[]()xxfdxdududydxdy??′′==對應(yīng)地()()[]()dxxxfduufdy??′′=′=由于公式()duufdy′=不管u是自變量或中

9、間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。4由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則設(shè)()tx?=,()tyψ=確定函數(shù)()xyy=,其中()t?′,()tψ′存在,且()0≠′t?,則()()ttdxdy?ψ′′=()()0≠′t?二階導(dǎo)數(shù)()()()()()[]3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd??ψ?ψ′′′′?′′′=???????=??????=5反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)()x

10、fy=的反函數(shù)()ygx=,兩者皆可導(dǎo),且()0≠′xf則()()()[]ygfxfyg′=′=′11()()0≠′xf二階導(dǎo)數(shù)()()[]()dxdydxxfddyygdyg11???????′=′=′′()()[]()[]()[]33ygfygfxfxf′′′?=′′′?=()()0≠′xf6隱函數(shù)運算法則隱函數(shù)運算法則設(shè)()xyy=是由方程()0=yxF所確定,求y′的方法如下:把()0=yxF兩邊的各項對x求導(dǎo),把y看作中間變量

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