數(shù)學(xué)建模實(shí)例人口預(yù)報(bào)問題

1、數(shù)學(xué)建模實(shí)例：人口預(yù)報(bào)問題數(shù)學(xué)建模實(shí)例：人口預(yù)報(bào)問題1.問題問題人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長的前提作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長的前提.下面介紹兩個(gè)最基本的人口模下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表型，并利用表1給出的近兩百年的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后給出的近兩百年的美國人口統(tǒng)計(jì)

2、數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)用它預(yù)報(bào)2000年、年、2010年美國人口年美國人口.表1美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）年（公元）人口（百人口（百萬）萬）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）年（公元）人口（百人口（百萬）萬）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）

3、年（公元）人口（百人口（百萬）萬）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）此模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯（此模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于）于1798年提出年提出.[1]假設(shè)：人口增長率假設(shè)：人口增長率r是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口成是常

4、數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口成正比）正比）.[2]建立模型：建立模型：記時(shí)刻記時(shí)刻t=0時(shí)人口數(shù)為時(shí)人口數(shù)為x0時(shí)刻時(shí)刻t的人口為的人口為，由于量大，，由于量大，??tx可視為連續(xù)、可微函數(shù)可視為連續(xù)、可微函數(shù).t到時(shí)間內(nèi)人口的增量為：時(shí)間內(nèi)人口的增量為：??txtt??188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229

5、.3115.3從表從表2可看出，可看出，18101870間的預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但間的預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來越大年以后的誤差越來越大.分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長.而事實(shí)上，隨著人而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長的限制作用越來越顯著口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長的限制作用越來越

6、顯著.如果如果當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長率就要隨著人口增加而減少量以后，這個(gè)增長率就要隨著人口增加而減少.于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長模型關(guān)于人于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長模型關(guān)于人口凈增長率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改口凈增長率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一個(gè)下面的模型是在修改的模型中著名的一個(gè).3.阻滯增長模型

7、（阻滯增長模型（Logistic模型）模型）[1]假設(shè)：假設(shè)：（a）人口增長率）人口增長率r為人口為人口的函數(shù)的函數(shù)（減函數(shù)）（減函數(shù)），最簡單假定，最簡單假定??tx??xr（線性函數(shù)）（線性函數(shù)），r叫做固有增長率叫做固有增長率.??0???srsxrxr（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量.mx[2]建立模型：建立模型：當(dāng)時(shí)，增長率應(yīng)為時(shí)，增長率應(yīng)為0，即，即=0，于是，于是，代入，