ch3-1第一講 微分中值定理

1、第十六講第十六講Ⅰ授課題目：授課題目：3.1微分中值定理Ⅱ教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：1.理解三個中值定理及幾何意義2.應(yīng)用中值定理證明等式、不等式及有關(guān)命題.Ⅲ教學(xué)重點與難點：教學(xué)重點與難點：重點：三個中值定理的證明難點：三個中值定理的應(yīng)用Ⅳ講授內(nèi)容講授內(nèi)容：一、羅爾定理首先，觀察圖1.設(shè)曲線弧是函數(shù)的圖形.??))((baxxfy??這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處具有不垂直于軸的切線，且兩個端點x的縱坐標(biāo)相等，即可以發(fā)現(xiàn)曲線

2、的最高點或最低點C處曲線有水平)()(bfaf?的切線.如果記C點的橫坐標(biāo)為，那么就有.現(xiàn)在用分析語言把這個幾何?0)(???f現(xiàn)象描述出來，就是下面的羅爾定理.為了應(yīng)用方便，先介紹費馬（Fermat）引理.費馬（Fermat）引理設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并且在)(xf0x)(0xU處可導(dǎo)，如果對任意的，有0x)(0xUx?（或），)()(0xfxf?)()(0xfxf?那么.0)(0??xfOyxABCab?圖1⌒AB(2)M＞m

3、因為，，所以M和m這兩個數(shù)中至少有—個不等于)()(bfaf?)(xf在區(qū)間的端點處的函數(shù)值為確定起見，不妨設(shè)M(如果設(shè)m??ba)(af?，證達(dá)完全類似)那末必定在開區(qū)間()內(nèi)有一點使)(af?ba??)(?fM因此，，有，從而由費馬引理可知.定理??bax??)()(?fxf?0)(???f證畢.注證明方程有根，一是用零點定理，二是用羅爾定理.例1設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：至)(xf??10)10(1)21(0)1()0(???

4、fff少存在一個，使.)10(??1)(???f證明：令，則，，.由閉區(qū)間上連續(xù)xxfxF??)()(0)0(?F21)21(?F1)1(??F函數(shù)的零點定理可知，存在，使.再由羅爾定理得，至少存在一)121(??0)(??F個，使，即.)10()0(????0)(???F1)(???f二、拉格朗日中值定理羅爾定理中這個條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限)()(bfaf?制如果把這個條件取消，但仍保留其余兩個條件，并相應(yīng)地改變結(jié)