小學(xué)奧數(shù)—同余問題

1、數(shù)論之同余問題余數(shù)問題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來說非常重要。許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題，并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了！”余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)撥：一、一、帶余除法的定余除法的定義及性及性質(zhì)：一般地，如果a是整數(shù)，b是整

2、數(shù)（b≠0）若有ab=q……r，也就是a＝bq＋r0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商0r?(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商0r?一個(gè)完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就

3、是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于ab分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和31.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，

4、故2319=42除以5的余數(shù)等于34=7除以5的余數(shù)，即2.2.余數(shù)的乘法定理余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于ab分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于31=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2.四、中國剩余定理：四、中國剩余

5、定理：1.中國古代趣中國古代趣題：中國數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬

6、，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ChineseRema

7、inderTheem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法：核心思想和方法：對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的

8、公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和75735??的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余135270??類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是從1開始的自然數(shù)。270321245[357]233[357]kk????????也就是