高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略

1、高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣近年已經(jīng)在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本文擬總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法一.區(qū)域涂色問題區(qū)域涂色問題w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1、根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本

2、方根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。法。例1、用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給①號區(qū)域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的涂色方法有5434240????2、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)

3、，再用、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；44A（4）③與⑤同色、②與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，44A

4、則有；44A所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=12044A例3、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3種顏色1)當(dāng)先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色，2)區(qū)域3與5必須同色，故有種；34A3)當(dāng)用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色，4)則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與44A4不同色，有種，故用四種顏色時共有2

5、種。由加法原理可44A44A②①③④24315①②2③④⑤⑥與不同色，共有種染色方法，但由于與nA143n??nA1A鄰，所以應(yīng)排除與同色的情形；與同色時，可把、看成一個扇nA1AnA1AnA1A形，與前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下2n?1n?1na?遞推關(guān)系：1143nnnaa?????1211243(43)43nnnnnnaaa?????????????????21321234343434343nnnnnnnaa

6、????????????????????124[33(1)3](1)33nnnnn????????????????二.點的涂色問題點的涂色問題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的SABCD?兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用

7、三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。125460CA?（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C24A中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。121154

8、22240CACC?（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法55120A?綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60240120=420種。解法二：設(shè)想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。54360???由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供

9、選擇，從而對C、D染色有種染色方法。由乘法原理，總的13227????染色方法是607420??解法三：可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？二.線段涂色問題線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：6)根據(jù)共用了多少顏色分類討論根據(jù)共用了多少顏色分類討論7)根據(jù)相對線段是否同色分類討論。根據(jù)相對線段是