§2-1 微分和導數(shù)

1、第2章微分和微分法微分和微分法導數(shù)的簡單應用導數(shù)的簡單應用經典微積分大致分為微分學和積分學兩大部分.微分學中兩個最基本的概念就是函數(shù)的微分和導數(shù)，而求函數(shù)微分或導數(shù)的方法稱為微分法.微分法是微分學中最基本的運算方法.2121微分和導數(shù)微分和導數(shù)函數(shù)的微分和導數(shù)就像是一對兒“雙胞胎”，是同時存在的，而且兩者有密切的關系.自柯西以來，幾乎所有的教科書中都是先講導數(shù)，后講微分.許多學生學完微積分后，熟悉導數(shù)卻不熟悉微分.實際上，微分運算和導數(shù)

2、運算是平行的，即每一個微分運算都對應于一個相當?shù)膶?shù)運算，反過來也是如此.本書將把函數(shù)的可微性作為起始概念，并同時導出函數(shù)的微分和導數(shù)這兩個概念，以便能夠體現(xiàn)出它們兩者之間的“孿生兄弟”關系.1.1.從例子說起從例子說起(函數(shù)局部線性化函數(shù)局部線性化)假若函數(shù)隨自變量的變化是均勻的，譬)(xyy?x如函數(shù).用表示自變量在點的增量，則函數(shù)的增bkxy??0xxx???x0xbkxy??量為(圖21)00[()][]ykxxbkxbkx??

3、?????????顯然，與自變量增量成正比，即函數(shù)增量是關于自變量增量的線性函數(shù).y?x?y?x?可是，另有些函數(shù)，例如函數(shù)(圖22)在點(相應于自變量增量)的增量2xy?0xx?為222000()2()yxxxxxx?????????顯然，函數(shù)在點近旁的變化不是均勻的，即與不成正比.但是，能夠2xy?0xy?x?y?被分離出一部分，它與成正比；而余下的部分與相比較，當02xx?x?2()x?x?時，是高階無窮小量，即.于是，函數(shù)在點的

4、0??x)0)(()(2?????xxox2xy?0x增量就可表示成02()(0)yxxoxx???????bkxy??ykxb??ΔxOx0x0Δx圖21yykx????xOy20()xx??20xy?02xx?圖22x00xxx??2()x?2yx?第2章微分和微分法導數(shù)的簡單應用3232（微分）（導數(shù)）0d()dxxkxbkx???0()xxkxbk????（微分）（導數(shù)）.020d()2dxxxxx??020()2xxxx???

5、特別，對于常值函數(shù)，因為，所以，.()()yxcx???????0y??d0c?0c??上述導數(shù)記號是后來的法國數(shù)學家拉格朗日(Lagrange1736—1813)引用的，0()yx?而萊布尼茨當初把函數(shù)在點的的導數(shù)記成.這樣，按照萊布尼茨的說)(xyy?0x0d()dyxx法，導數(shù)就是函數(shù)的微分除以自變量微分的商導數(shù)就是函數(shù)的微分除以自變量微分的商(簡稱微商簡稱微商)（）（）.若函數(shù)在點可微分，根據(jù)式(21)，則有)(xyy?0x或0

6、lim0xy????000lim()()xyxxyx?????即函數(shù)在點連續(xù).這說明：函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微分的必要條件函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微分的必要條件；或者說，函數(shù)函數(shù))(xyy?0x可微分是函數(shù)連續(xù)的充分條件可微分是函數(shù)連續(xù)的充分條件.在以下的例子中，注意是自變量（而把暫時看成常量，就像上面的）.x?x0x例1函數(shù)函數(shù)(為正整數(shù)為正整數(shù))的可微性的可微性當自變量在任意點有一個無nyx?n()x?????窮小增量時，函數(shù)在點的增量為x?nx

7、y?x122(1)()()()()2nnnnnnnnnyxxxxnxxxxxx????????????????????????1221(1)()()()2nnnnnnnxxxxxnxxox??????????????????????[方括號內為]()ox?因此，根據(jù)定義[即式(21)]，函數(shù)在任意點可微分且微分為nxy?()x?????（其中）1d()dnnxnxx??dxx??而函數(shù)在點的導數(shù)為.nxy?()x?????1()nnxn

8、x???例2函數(shù)函數(shù)和的可微性的可微性對于任意點，設有增量sinyx?cosyx?()x?????，則函數(shù)的增量為x?2sin()sin2cossin22xxxyxxx?????????其中，當時，根據(jù)定理11（因為是連續(xù)函數(shù)），則有0x??cosx2coscoscos(1)22xxxxxo?????????????又根據(jù)，則，于是有sin(0)xxx??sin(0)22xxx?????（）可見，萊布尼茨當初把函數(shù)的微分作為起始概念，而