§高階線性微分方程

1、1班級：班級：1212統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)姓名：龔偉姓名：龔偉學(xué)號學(xué)號:120314103:120314103高階線性微分方程高階線性微分方程線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)1線性微分方程線性微分方程定義定義4.14.1形如的方程稱)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn?????????為階線性微分方程階線性微分方程，其中是已知函數(shù)。n)()()()(21xfxPxPxPn?注：(1)特點(diǎn)：都是一次的；從而稱

2、為線性方程。yyyynn)1()(???(2)時(shí)，稱為階線性齊次微分方程；0)(?xfn否則，稱為階線性非齊次微分方程。階線性非齊次微分方程。n(3)特別地，當(dāng)時(shí)，2?n(4.1))()()(xfyxQyxPy??????稱為二階線性微分方程二階線性微分方程。時(shí)，有，(4.2)0)(?xf0)()(??????yxQyxPy稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程；否則，稱為二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程。2線性微分方

3、程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理（解的疊加性定理（解的疊加性)如果函數(shù)與是方程(4.2)的兩個(gè)解，那么)(1xy)(2xy也是方程(4.2)的解，其中與是任意常數(shù)。)()(2211xyCxyCy??1C2C驗(yàn)證驗(yàn)證：因?yàn)槭欠匠?4.2)的解，所以21yy，。0)()(111??????yxQyxPy0)()(222??????yxQyxPy將解代入方程(4.2)的左端，得)()(2211xyCxyCy??))(())(()(22112

4、2112211yCyCxQyCyCxPyCyC???????=))()(())()((22221111yxQyxPyCyxQyxPyC???????????。0?問題問題與是(4.2)的解，由定理1，也是)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy??3答：因常數(shù)。函數(shù)對對線性無關(guān)；xxx12??2xx0?x因常數(shù)。函數(shù)對對線性無關(guān)；xxeexx1????xxxee??0?x因=常數(shù)。函數(shù)對對線性相關(guān)。21222???xx2xx0

5、?x以下給出關(guān)于二階線性齊次微分方程(4.2)的通解結(jié)構(gòu)定理。定理定理4.2(4.2(二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理)如果函數(shù)與)(1xy)(2xy是方程(4.2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則（是任意常)()(2211xycxycy??21cc數(shù)）就是方程(4.2)的通解。例4.2驗(yàn)證=與=是二階線性齊次微分方程的兩1yxcos2yxsin0????yy個(gè)解；寫出其通解。解將=與=代入方程可驗(yàn)證其是解。

6、1yxcos2yxsin0????yy由常數(shù)，即與線性無關(guān)。所以，由定理4.2，???xxxyytancossin121y2y是的通解。xCxCysincos21??關(guān)于二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)，先回憶一階線性非齊次微分方程，它的通解的結(jié)構(gòu)是)()(xQyxPy???y，???yYy其中，為方程對應(yīng)的齊次微分方程的通解，為方程的一個(gè)特解。Y?y對于二階及二階以上的線性齊次微分方程，也有同樣的解的結(jié)構(gòu)。下面來討論二階線性非齊次微分