求解物理極值問題數(shù)學(xué)方法小結(jié)

1、第1頁共4頁高考物理中求解極值問題數(shù)學(xué)方法幾例一引言物理極值問題，就是求某物理量在某過程中的極大值或極小值。物理極值問題是物理學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)。在科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)因?yàn)槠浔娝苤臏?zhǔn)確而成為研究者們最廣泛用于交流的語言。如果在解決這些問題時(shí)能與數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地整合，運(yùn)用適合的方法，將會(huì)拓展解決物理問題的思路，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。二數(shù)學(xué)知識(shí)求解物理極值問題的幾個(gè)例子（一）利用求導(dǎo)的方法求極值通過高等

2、數(shù)學(xué)知識(shí)可知，如果當(dāng)Δx→0時(shí)，有極限，我們把這個(gè)極限叫做f(x)在該點(diǎn)(x=x0)的導(dǎo)數(shù)。它正是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率tanα。如果f(x0)=0則在x0處函數(shù)有極值。例1：如圖1所示，相距2L的A、B兩點(diǎn)固定著兩個(gè)正點(diǎn)電荷，帶電量均為Q。在它們的中垂線上的C點(diǎn)，由靜止釋放一電量為q，質(zhì)量為m的正檢驗(yàn)電荷（不計(jì)重力）。試求檢驗(yàn)電荷運(yùn)動(dòng)到何處加速度最大，最大加速度為多少？解：由于對(duì)稱性，在AB的中點(diǎn)受力為零，在AB中垂線上的其它點(diǎn)所受合

3、力均是沿中垂線方向的。當(dāng)q運(yùn)動(dòng)到中垂線上的D點(diǎn)時(shí)，由圖可知???sin)cos(2sin221LkQqFF??合故其加速度為：)sin(sin2cossin23222????????mLkQqmLkQqmFa合發(fā)現(xiàn)加速度是一個(gè)關(guān)于θ的函數(shù)，令???3sinsin)(??f?????cossin3cos)((2??f）f的導(dǎo)數(shù)為則0cossin3cos0)(2???????即令f，（）33sin??）解得不合題意有極值900??圖1第3頁

4、共4頁其中所以??1tan?GF2min1????(四)利用矢量求極值矢量是物理學(xué)中常用的數(shù)學(xué)工具，有時(shí)使用矢量可以求出某些極值問題。對(duì)于例3，我們也可以用矢量知識(shí)求極值。將摩擦力f和地面對(duì)木塊的彈力N合成一個(gè)力F，如圖4，F(xiàn)’與豎直方向的夾角為（為一定值）。這樣木塊可認(rèn)為受????Nftan到三個(gè)力:重力G桌面對(duì)木塊的作用力F和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F(xiàn)’方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如圖5所示。只

5、用當(dāng)F與F’垂直時(shí)，即拉力與水平方向成角時(shí)，拉力F最小為??sinGF?而221tan1tansin?????????故21sin??????GGF(五)利用不等式求極值例5：一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖6所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？解：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成θ角的C時(shí)，重力的功率為：P=mgυcosα=mgυsinθ①小球