試述數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用

1、<p>　　試述數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用</p><p>　　摘要：物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)思想方法是解決物理問題的重要工具，在高中物理中時常存在數(shù)學(xué)方法的影子。學(xué)生在解題的過程中，除面對物理知識的考查和理解外，可能也面臨著數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識的考驗，而有時數(shù)學(xué)方法的使用對問題的解決起到關(guān)鍵的作用。本文就高中物理解題中用到的典型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納。 </p>&l

2、t;p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；高中物理；應(yīng)用 </p><p>　　中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A </p><p>　　一、數(shù)學(xué)方法的作用 數(shù)學(xué)方法有很多,以下是一些在高中常見的數(shù)學(xué)方法。如:解析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、加減(消元)法、建模法、極限法、圖象法、窮舉法(要求分類討論)、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小)、換元法(也稱之為中間變量法)、數(shù)學(xué)歸納、拆補法

3、等等。對于數(shù)學(xué)方法的作用，首先語言要形式化的精確簡潔,其次提供計算的方法及數(shù)量分析,談后要有推理邏輯的工具。另外數(shù)學(xué)方法還能很好的為學(xué)生提供一些解題思路和思考方式。對于教學(xué)來說有它的方法，但怎樣教卻沒有規(guī)定的方法，因此上解題應(yīng)該也有它自己的法則,而數(shù)學(xué)方法就為物理的解題提供了一些可供參考的法則。 </p><p><b>　　1、解析法的應(yīng)用 </b></p><p>

4、;　　一般情況下，在高中物理力學(xué)中，物體運動的軌道都是由觀察物理現(xiàn)象一集物理實驗等得出的，而很少通過理論只知識來進(jìn)行推導(dǎo)。比如，對于高中物理力學(xué)中拋物體的運動問題，就可以通過數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行推導(dǎo)，由此而得出拋物體的運動軌跡為拋物線。然后通過觀察、推導(dǎo)，進(jìn)一步加深了學(xué)生對拋物體運動的認(rèn)識、理解和掌握。在高中物理力學(xué)中，應(yīng)用到數(shù)學(xué)方法很多，主要有函數(shù)、圖像、幾何、圖形、解析以及歸納等方法。實際上，高中物理力學(xué)的有關(guān)問題往往是千變?nèi)f化的，其解決

5、方法也多種多樣的。因此，要求我們在高中物理力學(xué)教學(xué)過程中，必須結(jié)合實際應(yīng)用數(shù)學(xué)知識及方法，認(rèn)真進(jìn)行歸納總結(jié)，不斷學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決高中物理力學(xué)有關(guān)問題的能力及水平。 </p><p><b>　　2、結(jié)合法的應(yīng)用 </b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合法，可以應(yīng)用道描寫物理概念、規(guī)律和規(guī)律之間的關(guān)系及變化。數(shù)與形之間，是相互替代、相互補充和相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。例如，在高

6、中物理力學(xué)教學(xué)中，可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，進(jìn)而把一些抽象的物理數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟊普娴膸缀沃R。同時，也可以把幾何圖形化為物理數(shù)量關(guān)系。可見，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，往往能夠把復(fù)雜抽象的高中物理力學(xué)問題進(jìn)行簡單化、具體化，進(jìn)而一年到學(xué)生尋找到簡單的解題思路與方法。在解決高中物理力學(xué)有關(guān)問題時，我們可以結(jié)合實際情況，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，力求精確地解決高中物理力學(xué)的有關(guān)問題。 </p><p>　　二、數(shù)學(xué)方法在高中物理中的

7、應(yīng)用 </p><p>　　1、正余弦函數(shù)在高中物理中的應(yīng)用 </p><p>　　圖1是交流發(fā)電機模型示意圖。在磁感應(yīng)強度為B 的勻強磁場中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動的金屬環(huán)相連接，金屬環(huán)又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。圖2是線圈的

8、主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用他們的橫截面積來表示。已知ab 長度為L1，bc長度為L2，線圈以恒定角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動。（只考慮單匝線圈） </p><p>　　1、線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導(dǎo)t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e1 的表達(dá)式； </p><p>　　2、線圈平面處于與中性面成φ0 夾角位置開始計時，如圖3 所示，試寫出t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e2 的表達(dá)式； &l

9、t;/p><p>　　3、若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動一周電阻R 上產(chǎn)生的焦耳熱。（其他電阻均不計） </p><p><b>　　分析與解答 </b></p><p>　　1.（如圖4）線圈abcd 轉(zhuǎn)動過程中，只有ab 和cd 切割磁感線，設(shè)ab、cd 的轉(zhuǎn)動速度為v,則。在t時刻，導(dǎo)線ab和cd 因為切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向相同，大小均

10、為E1=BL1v2。由圖象可知，v⊥=vsinωt。整個線圈在t時刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。 </p><p>　　2、當(dāng)線圈由圖2 位置開始轉(zhuǎn)動時，在t時刻線圈的感應(yīng)電動勢為e2=BL1L2ωsin（ωt+φ0）。 </p><p>　　3、由閉合電路的歐姆定律，得。E 為線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的有效值。。線圈轉(zhuǎn)動一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱Q=I2RT，其中，

11、所以。 </p><p>　　本題考查了交流電流的產(chǎn)生和變化規(guī)律以及交流電路中熱能的計算，主要運用到了數(shù)學(xué)里的正弦函數(shù)來處理物理問題。不僅正弦交流電的電動勢和電流瞬時值，機械振動的位移時間關(guān)系、機械波波動圖象等，這些周期性的復(fù)雜的過程用正余弦函數(shù)表示卻會變得非常簡單明了。 </p><p>　　2、不等式法在高中物理中的應(yīng)用 </p><p>　　例1：在某一次運動

12、會中，運動員被要求從高為H的平臺上A點由靜止出發(fā)。動摩擦因數(shù)為μ的滑道向下運動到B點后沿著水平滑出，最終落入水池中。設(shè)滑道的水平距離為L，B點的高度為h，可由運動員自由調(diào)節(jié)（取g=10 m/s2）。求： </p><p>　?。?）運動員到達(dá)B點的速度和高度h的關(guān)系； </p><p>　?。?）如果運動員要達(dá)到最大水平運動距離，B點的高度h應(yīng)調(diào)為多大才能實現(xiàn)？其對應(yīng)的最大水平距離SBH為

13、多少？ </p><p>　?。?）若H=4m，L=5m，動摩擦因數(shù)μ=0.2，則水平運動距離要達(dá)到7m，h值應(yīng)為多少？ </p><p><b>　　分析與解答 </b></p><p>　　根據(jù)平拋運動x=v0t，，得，當(dāng)時，x 取得最大值 </p><p>　　很明顯，在第二問中就用到了不等式求極值的方法，而第二步

14、的結(jié)論又直接影響到了第三問的解答，所以數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用是本題的一個難點，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的重要性。例：在豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題分析 </p><p>　　物體在豎直面內(nèi)做圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，常分析兩種模型———輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示： </p><p><b>　　表一 </b>&

15、lt;/p><p>　　【說明】由以上例子可見不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨厚的優(yōu)勢，可見不等式與物理的結(jié)合能力也是學(xué)生分析問題時必不可少的。 </p><p>　　3、應(yīng)用極限法解決物理解題 </p><p>　　極限法（又稱極端法）在物理解題中有比較廣泛的應(yīng)用。若將貌似復(fù)雜的問題推到極端狀態(tài)或極限值條件下進(jìn)行分析，

16、問題往往變得十分簡單。例如，應(yīng)用極限法，通?？梢园阎形锢砹W(xué)中的傾角變化的斜面轉(zhuǎn)化為水平面或者豎直面，進(jìn)而把較為復(fù)雜的物理力學(xué)問題轉(zhuǎn)變成簡單的知識。同時，也可以把運動的物體視為了靜止的物體，把變量轉(zhuǎn)化成特殊恒定的數(shù)值，把非理想物理模型轉(zhuǎn)化成理想物理模型等。實際上，極限法是高中物理解題方法中最為普遍、最為重要的方法。對于很多需要進(jìn)行定性分析的力學(xué)問題，應(yīng)用極限法都能夠使解題省略一些不必要的繁瑣推導(dǎo)及運算，往往只進(jìn)行簡單的推理即可得到結(jié)論。

17、但是，極限法也是常常被學(xué)生忽略的。因此，我們必須引起高度重視，在高中物理力學(xué)教學(xué)中，有意識、有針對地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用極限法進(jìn)行解題，不斷拓展學(xué)生的思維和視野。下面以例說明。 </p><p>　　例：如圖3所示，A物體和B物體由輕質(zhì)細(xì)線連接跨過定滑輪，A置于斜面上，A、B均靜止。且，斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止， 則這時A受到的斜面給它的摩擦力可能是（ ）。 </p>

18、;<p>　　A.變大，方向沿斜面向下。 </p><p>　　B.變小，方向沿斜面向下。 </p><p><b>　　C.變?yōu)榱恪?</b></p><p>　　D.變小，方向沿斜面向上。 </p><p><b>　　說明與解析 ： </b></p><p&g

19、t;　　若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上， 有mAgsin30°=T=mAg，即。，說明A有沿斜面向上滑動的趨勢，A受到的靜摩擦力為f，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能: </p><p><b>　?、?</b></p><p>　?、谝汛笥?，f變?yōu)檠匦泵嫦蛏?，有可能比原f大，也有可能比原f小。 </p>

20、<p>　?、廴孕∮?，f變小，仍沿斜面向下。 </p><p>　　因此選B、C、D。 </p><p>　　點評：當(dāng)A受到靜摩擦力f=0就是一種臨界狀態(tài)。進(jìn)行分析，將f推至臨界狀態(tài)，正確的結(jié)論就能很快地得出。 </p><p>　　在高中物理解題方法中極限法是最為重要的方法之一，相對于一些只需作定性分析的題，利用這種方法解題就省略了 </p>

21、;<p>　　比較繁瑣的運算，得到結(jié)果用很簡單的推理即可。但這種方法常被學(xué)生由于“想不到”而忽略。因此我們要引起重視，擴展學(xué)生的思維，有意識地在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用極值法解題。 </p><p>　　4、解決物理問題數(shù)型結(jié)合方法的應(yīng)用 </p><p>　　對于物理概念來說，數(shù)與形都可以用來描寫，以及對物理規(guī)律，物理概念和物理規(guī)律之間的聯(lián)系和變化，兩種形式之間可以相互替代、相互補

22、充、相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能將抽象的數(shù)量關(guān)系以用形象的幾何直觀來表達(dá)出來， 也可以將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的思想，往往能將抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化，找到簡捷明快的解題方法和思路。同時，我們在在解決物理問題時，我們可以對情況具體情況進(jìn)行分析，認(rèn)清物理圖形與數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖像的特點、功能，及它們之間的辯證關(guān)系，選擇比較合適的形式來反映、描述物理規(guī)律、現(xiàn)象，這樣就會顯得靈活、方便。 </p><

23、;p>　　例4：物體以大小不變的初速度v0沿木板向上滑動，若木板傾角θ不同，物體能上滑的距離s也不同。如圖4所示是通過實驗得出s-θ圖像， 求圖中最低點P的坐標(biāo)。 </p><p>　　說明與分析：這是一道物理情景非常熟悉但題型又較為新穎的數(shù)形結(jié)合題， 要順利解答這個問題，首先需獲取圖像的有關(guān)信息，然后尋找出題目所隱含的潛在規(guī)律，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解。由題中s-θ圖像可知， 當(dāng)木板傾角時θ=θ1=0&#

24、176;時， 物體滑行距離s=S1=20m，即此時物體沿水平面運動，由牛頓運動定律和運動學(xué)公式可得：V02=2μgS1 （1）。 </p><p>　　當(dāng)θ=θ2=90°時，s=S2=15m， 此時物體實際做豎直上拋運動，于是有:V02=2gS2 （2）。 </p><p>　　當(dāng)θ為任意值時， 物體滑斜面上滑， 有：V02=2（gsinθ+μgcosθ）s （3）。 </

25、p><p>　　聯(lián)立（1）、（2）、（3）式，消去V0和g得：s=S1S2/（S1sinθ+S2cosθ）（4）。 </p><p>　　以S1、S2的值代入（4） 式后簡化得：s=12/（sinθ×0.8+cosθ×0.6） （5）。 </p><p>　　考慮到cos37°=0.8，sin37°=0.6，（5）式可化為：s=1

26、2/sin（θ+37°） （6） ， </p><p>　　所以，當(dāng)θ=53°時，s有極小值12m，故P點的坐標(biāo)為（53°、12m）。 </p><p>　　我們在解題過程中，對于一些物理問題，用圖像來表述有關(guān)的信息，為了使其方便描述。雖然圖像形象直觀，但不夠精確。在處理這些問題時，只有充分挖掘圖像的信息，把圖像問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，對有關(guān)的物理規(guī)律進(jìn)行分析，根

27、據(jù)圖形和物理量之間的關(guān)系，對于這些物理問題我們才能更加精確地的得到解決。 </p><p><b>　　結(jié)語 </b></p><p>　　物理概念的形成、物理規(guī)律的掌握離不開數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維，學(xué)生分析和解決物理問題能力的培養(yǎng)更離不開數(shù)學(xué)。在物理教學(xué)中，我們應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維在處理、分析、表述和解決物理問題中的作用，引導(dǎo)學(xué)生自覺地、有針對性地將物理問題和數(shù)

28、學(xué)方法有機地結(jié)合起來，真正做到既能把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，又能從數(shù)學(xué)表達(dá)式中深刻領(lǐng)悟其物理問題的內(nèi)涵，且能運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　[1]王懷琴.略論數(shù)學(xué)方法在高中物理解題中的應(yīng)用[J].考試周刊,2010,41:191-192. </p><p>　　[2]杜岸政.高中