高中數(shù)學(xué)--直線與圓的綜合應(yīng)用

1、9.5 直線與圓的綜合應(yīng)用一、填空題1.若圓2 2 2 4 0 x y x y + - - = 的圓心到直線 x-y+a=0 的距離為 2 2 , 則 a 的值為_(kāi)_______． 解析 圓心為(1,2),利用點(diǎn)到直線的距離公式得1 2 2 2 2a | - + | = , 化簡(jiǎn)得|a-1|=1,解得 a=0 或a=2 . 2．直線 y＝x 繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30°，則所得直線與圓(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是

2、________．解析 由題意可得旋轉(zhuǎn) 30°后所得直線方程為 y＝x，由圓心到直線距離可知是相切關(guān)系．答案 相切3．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線 4x－3y－2＝0 的距離等于 1，則半徑 r 的取值范圍為_(kāi)_______．解析 由圓心(3，－5)到直線的距離 d＝＝5，可得 4＜r＜6.答案 (4,6)答案 2 或 0 4．已知直線 ax＋by＋c＝0 與圓 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B

3、 兩點(diǎn)，且 AB＝，則OA·OB＝________.解析 由題可知∠AOB＝120°，所以O(shè)A·OB＝|OA|·|OB|·cos 120°＝－.答案 －5．已知 x，y 滿足 x2＋y2－4x－6y＋12＝0，則 x2＋y2最小值為_(kāi)_______．解析 法一 點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y－3)2＝1 上，故點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)距離的平方即 x2＋y2最小值為(－1)2＝1

4、4－2.法二 設(shè)圓的參數(shù)方程為則 x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以 x2＋y2的最小值為 14－＝14－2.答案 14－26．若直線 y＝x＋b 與曲線 x＝恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是________．解析 利用數(shù)形結(jié)合的方法，曲線 x＝表示在 y 軸右側(cè)的半個(gè)單位圓(含邊界)，直線 y＝x＋b 表示斜率為 1，在 y 軸上截距為 b 的直線，注意到 b＝－1 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)及 b＝－時(shí)直線與圓相切，所以實(shí)數(shù)

5、 b 的取值范圍是－1<b≤1，b＝－.斜率的取值范圍為_(kāi)_______．解析 該直線 l 的方程為 y＝kx－1，即 kx－y－1＝0，則由題意，得 d＝≤2，即 k2≥，解得 k≤－或 k≥.答案 ∪13．直線 l：ax－by＋8＝0 與圓 C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b 為非零實(shí)數(shù))的位置關(guān)系是________．解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2＋2＝－4，且－4＞0，即 a2＋b2＞16，圓心 C 到直線 ax－by＋8

6、＝0 的距離d＝＝＜＝＝r(r 是圓 C 的半徑，則直線與圓相交)．答案 相交二、解答題14．已知方程 x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圓，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線 x＋2y－4＝0 相交于 M，N 兩點(diǎn)，且 OM⊥ON(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù) m 的值；(3)在(2)的條件下，求以 MN 為直徑的圓的方程．解析 (1)原圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以 m＜5.(2)

7、設(shè) M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，則 x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.因?yàn)?OM⊥ON，所以 x1x2＋y1y2＝0，所以 16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0， ①由得 5y2－16y＋m＋8＝0，所以 y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得 m＝.(3)以 MN 為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即 x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1