美籍華裔數(shù)學(xué)家

1、美籍華裔數(shù)學(xué)家、中國南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長陳省身教授，在慶祝自然科學(xué)基金制設(shè)立15周年和國家自然科學(xué)基金委員會成立10周年之際，以《中國的數(shù)學(xué)》為題發(fā)表講演。以下是這篇演講的全文，特此刊出，以饗讀者。中國的數(shù)學(xué)幾件數(shù)學(xué)新聞和對于中國數(shù)學(xué)的一些看法陳省身張存浩先生要我講點數(shù)學(xué)，這么短的時間，而數(shù)學(xué)這么大，只好舉幾個要點談?wù)?。?shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是根據(jù)某些假設(shè)，用邏輯的推理得到結(jié)論，因為用這么簡單的方法，所以數(shù)學(xué)是一門堅固的科學(xué)，它得到的結(jié)論是

2、很有效的。這樣的結(jié)論自然對學(xué)問的各方面都很有應(yīng)用，不過有一點很奇怪的，就是這種應(yīng)用的范圍非常大。最初你用幾個數(shù)或畫幾個圖就得到的一些結(jié)論，而由此引起的發(fā)展卻常常令人難以想象。在這個發(fā)展過程中，我認(rèn)為不僅在數(shù)學(xué)上最重要，而且在人類文化史上也非常突出的就是Euclid的《幾何原本》。這是第一本系統(tǒng)性的書，主要的目的是研究空間的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以從很簡單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關(guān)于整個數(shù)學(xué)的書，不僅僅限于幾何學(xué)。例如，Euclid書

3、上首先證明素數(shù)的個數(shù)是無窮的，這便是一個算術(shù)的結(jié)論。隨著推理的復(fù)雜化，便有許多“深刻“的定理，需要很長的證明。例如，有些解析數(shù)論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡單的方法證明幾個結(jié)果，大家很欣賞，也很重要。后來方法發(fā)展了，便產(chǎn)生很復(fù)雜的推理，有些定理需要幾十頁才能證明?，F(xiàn)在有的結(jié)果的證明甚至上百頁，上千頁?？吹竭@么復(fù)雜的證明，我們固然驚嘆某些數(shù)學(xué)家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產(chǎn)生一些疑問，甚或有些無所適從的感覺。所以我想，日后

4、數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展，在于引進(jìn)觀念，使問題簡化。先講講有限單群的問題。1.有限單群我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展中有一個基本觀念群。群也是數(shù)學(xué)之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結(jié)構(gòu)呢？最簡單的方法是討論它的子群，再由小的群的結(jié)構(gòu)慢慢構(gòu)造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G，g1Hg∈H，則稱H為正規(guī)的(nmal)。正規(guī)子群存在，可使G的研究變

5、為子群H及商群GH的研究。這樣就有一個很自然的問題，有哪些有限的單群(simplegroup)？單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒有其他的非平凡的正規(guī)子群(nmalsubgroup)。數(shù)學(xué)上稱其為簡單群，其實一點也不簡單。有限群論的一個深刻的定理是FeiThompson定理：非交換單群的階(數(shù))(即群中元素的個數(shù))是偶數(shù)。更不尋常的是除了某些大類(素數(shù)階循環(huán)群Zp，交錯群An(n=5)，Lie型單群)外，后來發(fā)現(xiàn)了26個

6、零零在已經(jīng)有了一個完全的證明。整個文章發(fā)表在最近一期的“AnnualsofMathematics“(Princeton大學(xué)雜志，1996，第一期)，整個一期登的是Wiles與Tayl的論文，證明Fermat定理(Wiles為此同RobertLangls獲得了1996年的Wolf獎與NationalAcademyScienceAwardinMathematics)。有意思的是，證明這個定理的關(guān)鍵是橢圓曲線。這是代數(shù)數(shù)論的一個分支。有以下一

7、則故事：英國的大數(shù)學(xué)家G.H.Hardy(18771947)有一天去醫(yī)院探望他的朋友，印度天才數(shù)學(xué)家S.A.Ramanujan(18871920)。Hardy的汽車號是1729。他向Ramanujan說，這個數(shù)目沒有意思。Ramanujan說，不然，這是可以用兩種不同方法寫為2個立方之和的最小的數(shù)，如1729=13123=93103這結(jié)果可用橢圓曲線論來證明。我們知道，要找一個一般方程的解不容易的，而要找一個系數(shù)為整數(shù)的多項式方程P(x

8、y)=0(傳統(tǒng)上叫Diophantine方程)的整數(shù)解更困難。因為普通的解不會是整數(shù)，這是數(shù)論中的一個主要問題。需要說明的，在Wiles完成這個證明之前，我有一位在Berkley的朋友KenhA.Ribet，他有重要的貢獻(xiàn)。他證明了一日本數(shù)學(xué)家YutakaTaniyama的某一個關(guān)于橢圓曲線的假設(shè)包含F(xiàn)ermat定理。于是可將Fermat定理變?yōu)橐粋€關(guān)于橢圓曲線的定理。Wiles根據(jù)Ribet的結(jié)果又繼續(xù)經(jīng)過了許多步驟，以至達(dá)到最后的證

9、明。即在復(fù)平面內(nèi)得到曲線。由復(fù)變函數(shù)論知道，復(fù)平面內(nèi)的曲線就成為一個Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個最簡單的情形，就是一個球加上一個把手，即一個環(huán)面。環(huán)面是個群，且為可交換群。所謂橢圓曲線，就是把這個曲線看成復(fù)平面內(nèi)虧格(genus)等于1的復(fù)曲線。虧格等于1的曲線有一個非常深刻而巧妙的性質(zhì)。即它上面的點有一個可交換群的構(gòu)造。兩個點可以加起來，且有群的性質(zhì)。這是很重要的性質(zhì)

10、。橢圓曲線與橢圓無關(guān)。原因是，若所有曲線的虧格大于1，相當(dāng)于Riemann曲面有一個Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于1，則叫做雙曲的。虧格等于1的叫橢圓。虧格等于0的叫拋物線。橢圓曲線的研究是數(shù)論中非常重要、非常有意思的方面。最近一期的科學(xué)雜志(Science)，有位先生寫了一篇關(guān)于橢圓曲線的文章。橢圓曲線在電報的密碼上有應(yīng)用。而中國也有很多人在做代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論方面的工作。最近在黃山有一個國際性的、題為“代