數(shù)學(xué)家與函數(shù)

1、數(shù)學(xué)是門高深的學(xué)科，它所涉及到的領(lǐng)域也很廣，學(xué)好數(shù)學(xué)可以提高人們的邏輯推理思維能力和形成敏銳的洞察力，在這個(gè)世界上，有很多為數(shù)學(xué)做出貢獻(xiàn)的科學(xué)家，他們這都是值得我們學(xué)習(xí)的人。在笛卡爾引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域?？v覽宇宙，運(yùn)算天體，探索熱的傳導(dǎo)，揭示電磁秘密，這些都和函數(shù)概念息息相關(guān)。正是在這些實(shí)踐過(guò)程中，人們對(duì)函數(shù)的概念不斷深化?；仡櫼幌潞瘮?shù)概念的發(fā)展史，對(duì)于剛接觸到函數(shù)的初中同學(xué)來(lái)說(shuō)，雖然不可能有較深的

2、理解，但無(wú)疑對(duì)加深理解課堂知識(shí)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣將是有益的。最早提出函數(shù)（function）概念的，是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如都叫函數(shù)。以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為：“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量?！币馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)。貝努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來(lái)表示。后來(lái)數(shù)學(xué)家覺(jué)得不應(yīng)該

3、把函數(shù)概念局限在只能用公式來(lái)表達(dá)上。只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式來(lái)表示，就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！痹跉W拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了。由于函數(shù)不一定要用公式來(lái)表示，歐拉曾把畫在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù)。他認(rèn)為：“函

4、數(shù)是隨意畫出的一條曲線?！碑?dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式來(lái)表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯

5、基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的?！边@個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來(lái)求出每一個(gè)x的對(duì)應(yīng)值。1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)

6、完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！边@個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個(gè)定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便。因此，這個(gè)定義曾被比較長(zhǎng)期的使用著。自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本里用的了。中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”

7、一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1895年）一書時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”的。中國(guó)古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！敝袊?guó)古代用天、地、人、物4個(gè)字來(lái)表示4個(gè)不同的未知數(shù)或變量。這個(gè)定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)?！彼浴昂瘮?shù)”是指公式里含有變量的意思。我們可以預(yù)計(jì)到，關(guān)于函數(shù)的爭(zhēng)論、研究、發(fā)展、拓廣將不會(huì)完結(jié)，也

8、正是這些影響著數(shù)學(xué)及其相鄰學(xué)科的發(fā)展。另外，函數(shù)的發(fā)展主要可以分為以下的幾個(gè)階段：１.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉

9、一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。２.十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說(shuō)的任一形式，包

10、括代數(shù)式子和超越式子。18世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號(hào)。歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無(wú)理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定

11、義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。３.十九世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量開(kāi)始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出，雖然無(wú)窮級(jí)數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不

12、一定要有解析表達(dá)式，不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)

13、學(xué)家無(wú)條件地接受。至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托爾(Cant，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量、矩陣等）。４.現(xiàn)代函

14、數(shù)概念——集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdff)在《集合論綱要》中用“序偶”來(lái)定義函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)是避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)

15、函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?。函?shù)概念的定義經(jīng)過(guò)三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac－δ函數(shù)，它只在一點(diǎn)處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來(lái)的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測(cè)度及以上所述的Dirac－δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來(lái)。因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)